Симметрия огранки кристаллов. Операциями точечной симметрии являются: повороты вокруг оси симметрии порядка N на 360°/N (рис. 2, а), отражение в плоскости симметрии (зеркальное отражение, рис. 2, б), инверсия

(симметрия относительно точки, рис. 2, в), инверсионные повороты  (комбинация поворота на 360°/N с одновременной инверсией, рис. 2, г). Вместо инверсионных поворотов иногда рассматривают зеркальные повороты . Геометрически возможные сочетания этих операций определяют ту или иную точечную группу (рис. 3), которые изображаются обычно в стереографической проекции. При преобразованиях точечной симметрии по крайней мере одна точка объекта остаётся неподвижной — преобразуется сама в себя. В ней пересекаются все элементы симметрии, и она является центром стереографической проекции.

  Точечные преобразования симметрии g [x₁, x₂, x₃] =

 описываются линейными уравнениями:

x'₁ = а₁₁х₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃,

x'₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃,     (2)

x'₃ = a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃,

т. е. матрицей коэффициента (a_ij). Например, при повороте вокруг хз на угол a = 360°/N матрица коэффициентов имеет вид:

,     (3)

а при отражении в плоскости x₁, x₂ имеет вид:

     (3a)

Поскольку N может быть любым, число групп

 бесконечно. Однако в кристаллах ввиду наличия кристаллической решётки возможны только операции и соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го), которые обозначаются символами: 1, 2, 3, 4, 6, а также инверсионные оси:  (она же центр симметрии),  = m (она же плоскость симметрии), . Поэтому количество точечных кристаллографических групп, описывающих внешнюю форму кристаллов, ограничено. Эти 32 группы С. к. приведены в таблице. В международные обозначения точечных групп входят символы основных (порождающих) элементов симметрии, им присущих. Эти группы объединяются по симметрии формы элементарной ячейки (с периодами а, b, с и углами a, b, g) в 7 сингоний кристаллографических — триклинную, моноклинную, ромбическую, тетрагональную, тригональную, гексагональную и кубическую. Принадлежность кристалла к той или иной группе определяется гониометрически (см. Гониометр) или рентгенографически (см. Рентгеновский структурный анализ).

  Группы, содержащие лишь повороты, описывают кристаллы, состоящие только из совместимо равных частей. Эти группы называются группами 1-го рода. Группы, содержащие отражения, или инверсионные повороты, описывают кристаллы, в которых есть зеркально равные части (но могут быть и совместимо равные части). Эти группы называются группами 2-го рода. Кристаллы, описываемые группами 1-го рода, могут кристаллизоваться в двух энантиоморфных формах, условно называемых «правой» и «левой», каждая из них не содержит элементов симметрии 2-го рода, но они зеркально равны друг другу (см. Энантиоморфизм, Кварц).

  Точечные группы описывают симметрию не только кристаллов, но любых конечных фигур. В живой природе часто наблюдается запрещенная в кристаллографии симметрия с осями 5-го, 7-го порядка и выше. Например, для описания регулярной структуры сферических вирусов (рис. 4), в оболочках которых соблюдаются кристаллографические принципы плотной укладки молекул, оказалась важной икосаэдрическая точечная группа 532.

  Симметрия физических свойств. Предельные группы. В отношении макроскопических физических свойств (оптических, электрических, механических и др.), кристаллы ведут себя как однородная анизотропная среда, т. е. дискретность их атомной структуры не проявляется. Однородность означает, что свойства одинаковы в любой точке кристалла, однако при этом многие свойства зависят от направления (см. Анизотропия). Зависимость от направления можно представить в виде функции и построить указательную поверхность данного свойства (рис. 5, см. также ст. Кристаллооптика). Эта функция, которая может быть различной для разных физических свойств кристалла (векторной или тензорной) имеет определённую точечную симметрию, однозначно связанную с группой симметрии огранения кристалла. Она либо совпадает с ней, либо выше её по симметрии (принцип Неймана).

  Многие из свойств кристаллов, принадлежащих к определённым классам, описываются предельными точечными группами, содержащими оси симметрии бесконечного порядка, обозначаемые ¥. Наличие оси ¥ означает, что объект совмещается с собой при повороте на любой, в том числе бесконечно малый угол. Таких групп 7, они представлены на рис. 6 образцовыми фигурами и соответствующими символами. Т. о., всего имеется 32 + 7 = 39 точечных групп, описывающих симметрию свойств кристаллов. Зная группу С. к., можно указать возможность наличия или отсутствия в нём некоторых физических свойств (см. Кристаллы, Кристаллофизика).

Обозначения и названия 32 групп точечной симметрии

Сингония	Обозначения	Название	-
международные	по Шенфлису
Триклинная		С1	Моноэдрическая	а b с
	С1	Пинакоидальная	a ¹  b ¹  g ¹ 90°
Моноклинная	2	С2	Диэдрическая осевая	а b с
m	Cs	Диэдрическая безосная	a =  g = 90°
2/m	C2h	Призматическая	b ¹ 90°
Ромбическая	222	D2	Ромбо-тетраэдрическая	а b с
mm	C2	Ромбо-пирамидальная
mmm	D2h	Ромбо-дипирамидальная	a = b = g = 90°
Тетрагональная	4	C4	Тетрагонально-пирамидальная	а b с
422	D4	Тетрагонально-трапецоэдрическая
4/m	C4h	Тетрагонально-дипирамидальная
4mm	C4u	Дитетрагонально-пирамидальная
4/mmm	D4h	Дитетрагонально-дипирамидальная
	S4	Тетрагонально-тетраэдрическая
	D2d	Тетрагонально-скаленоэдрическая
Тригональная	3	C3	Тригонально-пирамидальная	а b с
32	D3	Тригонально-трапецоэдрическая
3m	C3u	Дитригонально-пирамидальная
	C3i	Ромбоэдрическая
	D3d	Дитригонально-скаленоэдрическая
	C3h	Тригонально-дипирамидальная
Гексагональная		D3h	Дитригонально-дипирамидальная	а b с
6	C6	Гексагонально-пирамидальная
62	D6	Гексагонально-трапецоэдрическая
6/m	C6h	Гексагонально-дипирамидальная
6mm	C6u	Дигексагонально-пирамидальная
6/mmm	D6h	Дигексагонально-дипирамидальная
Кубическая	23	T	Тритетраэдрическая	а b с
m3	Th	Дидодекаэдрическая
	Td	Гексатетраэдрическая
43	O	Триоктаэдрическая
m3m	Oh	Гексоктаэдрическая