Если снова побываете у автомата, непременно спросите: куда ведет воздушная монорельсовая дорога? Не к тем ли Великанам, которых вызывают, когда мы безобразничаем? И где эти Великаны живут? Справа или слева от Нулевой станции?
Нулик-Профессор.
В тесноте, да не в обиде
(Таня — Нулику)
Бедный, бедный Нулик! Ну и каша у тебя в голове! Сначала изобрел какие-то отрицательные пирожные, потом — положительных и отрицательных Нуликов!
Запомни раз и навсегда: нуль — единственное число, которое не бывает ни положительным, ни отрицательным. Это что-то вроде пограничника, который стоит на рубеже между положительными и отрицательными числами.
Конечно, в твоей школе тоже есть положительные и отрицательные Нулики. Но это ведь совсем другое дело. Просто одни из них хорошие, а другие — плохие.
Второй твой вопрос — о Великанах — очень интересный. Но ответил на него не автомат, а мама Двойка. Она говорит, что ты любознательный ребенок.
Оба конца монорельсовой дороги и вправду ведут в Бесконечность. А в Бесконечности, понятно, живут числа — Великаны. Бесконечность тоже бывает положительная и отрицательная. Только там свои, особые законы. Положительные и отрицательные Великаны прекрасно уживаются. Но как это им удается, мы не узнали. Это как раз один из тех вопросов, на которые мама Двойка отвечает: «Всякому овощу свое время».
А теперь танцуй! Мы научились умножать и делить отрицательные числа.
Ты ведь знаешь, что умножение можно рассматривать как сложение. Умножить два на три — все равно что сложить три двойки:
+ + + + + +
2 * 3 = 2 + 2 + 2 = 6
То же самое происходит, когда отрицательное число умножают на положительное. Разве умножить минус два на плюс три — это не то же самое, что сложить три отрицательные двойки? А так как при сложении отрицательных чисел вагончики двигаются влево от Нулевой станции, то и произведение будет отрицательное — минус шесть:
— + — — — —
2 * 3 = 2 + 2 + 2 = 6
— Ну, а если умножить минус три на плюс два? — спросил Сева. — Тогда что?
— Какая же разница? — сказала мама Двойка. — Как было минус шесть, так и останется минус шесть. Вот смотрите:
— + — — —
3 * 2 = 3 + 3 = 6
— Ясно! — кивнул Сева. — Пусть себе множители меняются знаками сколько хотят, произведение все равно остается то же. Оно всегда будет отрицательным, если мы перемножаем два числа с разными знаками. — Сева важно посмотрел на всех. Он был страшно собой доволен. — Все поняли? Тогда поехали дальше. Выясним теперь, что получится, если оба множителя отрицательные?
— Ну что ж, выясняйте, — сказала мама Двойка, — мы с удовольствием вас послушаем.
— Вы меня не поняли, — смутился Сева. — Это я вас собирался послушать.
— Ах вот оно что! Тогда другое дело.
Всем нам стало неловко за Севу. Мы подумали, что мама Двойка обиделась, но она посмотрела на нас смеющимися глазами и продолжала:
— Вы хотели знать, что происходит при перемножении двух отрицательных чисел? Нетрудно догадаться. Чтобы умножить любое число на положительное, надо отложить его на монорельсе в ту же сторону от Нулевой станции, с какой оно находится. Это мы только что видели.
Когда же мы умножаем любое число на отрицательное, все происходит наоборот. Вы ведь знаете, какие упрямцы эти отрицательные числа! Поэтому умножаемое откладывается не с той стороны, где оно находится, а по другую сторону от нуля:
+ — —
2 * 4 = 8
Теперь нетрудно понять, что получится при умножении отрицательного числа на отрицательное; в этом случае умножаемое надо откладывать вправо от нуля:
— — +
2 * 4 = 8
— Вот те раз! — Брови у Севы стали прямо как два вопросительных знака. — Отрицательное число, умноженное на отрицательное, становится положительным?! Чудеса!
— Такие чудеса случаются у нас в Аль-Джебре на каждом шагу, — ответила мама Двойка.
— Ну, если так, расскажите нам поскорее про деление. Там, наверное, будут какие-нибудь новые чудеса?
— Ничуть не бывало. Деление — действие, обратное умножению. Стало быть, и правила знаков не меняются:
— + —
6 : 3 = 2
— — —
6 : 3 = 2
Мы почувствовали себя ужасно образованными. А пуще всех — Сева.
— Теперь нам все нипочем! — заявил он. — Мы знаем эту дорогу как свои пять пальцев!
— Ошибаетесь, — сказала мама Двойка, — вы познакомились только с целыми числами.
— А разве здесь есть и другие?
— А как же!
— Вы, наверное, подразумеваете дробные числа, — предположил Олег.
— Не только. Дробные числа — это те, что расположены между целыми числами. — Мама Двойка указала на палочки ограды, которые мы недавно пересчитывали. — Здесь расстояние между двумя целыми числами разделено на десять равных частей. Каждая из них составляет одну десятую единицы. Но ведь этих делений может быть и гораздо больше. Мысленно мы можем разделить это расстояние на любое число частей.
— Значит, вагончик может останавливаться не только у целого числа, но и у любой дроби, то есть между станциями?
— Ну конечно! В любом месте, по первому требованию!
Мы тут же вызвали вагончик и заставили его остановиться сперва против числа 2,5, а потом против 3,44… Этого нам показалось мало. Мы назвали число минус пять и четыре миллионных: —5,000 004, и красный вагончик, миновав Нулевую станцию, превратился в синий и остановился на волосок дальше станции минус 5.
— Выходит, — неуверенно сказал Сева, — вся эта бесконечная дорога сплошь заполнена числами?
— Именно сплошь! — ответила мама Двойка. — Можно сказать, непрерывно. У нас очень большая плотность населения. На всем пути не сыскать ни одной точечки, не заселенной каким-нибудь числом. Есть среди этих чисел и такие, величину которых мы никогда не можем вычислить точно.
— Что ж это за число, которое нельзя вычислить?
— Ну, хотя бы корень квадратный из двух: √2. Попробуйте найти число, которое при возведении в квадрат давало бы два.
Сева наморщил лоб, подумал немного, потом махнул рукой и засмеялся:
— И много таких чисел?
— Бесконечное множество. Их называют иррациональными в отличие от рациональных. Латинское слово «рацио» значит «разум». Следовательно, рациональные числа — это разумные числа, то есть числа, постижимые разумом.
Сева прямо задохнулся от смеха:
— Ой, умираю! Рациональные — значит разумные. А иррациональные — сумасшедшие, что ли?
— Ну, зачем же так! — обиделась мама Двойка. — Просто они не поддаются точному вычислению. Поэтому их долгое время не признавали числами. Но с тех пор как у нас появилась воздушная монорельсовая дорога (или числовая прямая — так ее называют по-другому), иррациональные числа после долгих скитаний получили, наконец, точный адрес. Вычислить их по-прежнему можно только приближенно. Зато легко указать место на монорельсовой дороге, где они живут. Вместе с числами рациональными они образуют дружную семью действительных чисел, — закончила мама Двойка и снова заставила нас удивиться.
— А разве бывают и недействительные?
— Конечно. Есть числа мнимые, есть комплексные…
Сева не дал ей договорить.
— Вспомнил! — заорал он. — И Мнимая Единица может на что-нибудь пригодиться!
— Да, да, — подтвердила я, — так ответил автомат маленькой буковке с зонтиком: i.
— Оно и понятно, — сказала мама Двойка, — латинской буквой i (по-русски — И) в Аль-Джебре обозначается Мнимая Единица.
— Но почему мнимая? Она что, воображаемая?