В результате каждая реальная династия M может быть изображена некоторым множеством V(M) точек (векторов) в R^n. Степень «размытости» этого множества показывает – насколько значительны ошибки, допущенные летописцами при описании династии. Большие ошибки приводят к тому, что точки множества V(M) разбросаны далеко друг от друга. Если ошибки невелики, то V(M) имеет малый диаметр. Насколько ошибались летописцы при описании династий? Попробуем это выяснить.

Будем считать две реальные династии существенно различными, если число царей, входящих одновременно к обе династии, не превышает числа n/2, то есть половины числа царей в династии. Две наугад взятые реальные династии могут иметь общих царей (то есть могут пересекаться).

Назовём две числовые династии зависимыми, если они отвечают одной и той же реальной династии. То есть просто являются двумя разными вариантами описания (разными летописцами) одной и той же реальной династии. Напротив, назовём две числовые династии независимыми, если они отражают две реальные, но существенно различные династии.

Наряду с зависимыми и независимыми числовыми династиями имеются ещё и «промежуточные» пары династий, в которых число общих правителей превышает n/2. Ясно, что если общее число рассматриваемых династий велико, то количество промежуточных пар династий относительно мало. И основное внимание можно уделять зависимым и независиым парам династий.

Принцип малых искажений звучит так [нх-1]. Если две числовые династии «достаточно мало» отличаются друг от друга, то они зависимы, то есть изображают одну и ту же реальную династию царей. Напротив, если две реальные династии существенно различны, то отвечающие им числовые династии «достаточно сильно отличаются», далеки друг от друга.

Этот принцип (статистическая модель, гипотеза) утверждает, что «в среднем» летописцы ошибаются всё-таки незначительно, «не очень сильно». Удобно представлять себе принцип малых искажений в терминах множеств точек V(M) и V(H). Для каждой реальной династии М множество изображающих её числовых династий является «шаровым скоплением» (рис. 1.9). Если сформулированная выше статистическая гипотеза верна, то «шаровые скопления» V(M) и V(H), отвечающие заведомо независимым, то есть заведомо разным реальным династиям M и H, не пересекаются, расположены достаточно далеко друг от друга (рис. 1.9). Принцип малых искажений нуждается в эскпериментальной проверке. Сначала нужно было выяснить: можно ли найти естественный числовой коэффициент c(M,H), который позволяет уверенно различать заведомо зависимые и заведомо независимые пары числовых династий.

Другими словами, число c(M,H) должно быть «мало» в случае заведомо зависимых числовых династий M и H, и должно быть «большим» для заведомо независимых династий M и H. В частности, потребовалось составить список заведомо зависимых и заведомо независимых династий из более или менее достоверной эпохи XIV—XX веков. См. подробности в [нх-1]. Далее, на множестве всех пар династий была введена естественная мера близости c(M,H), описание которой также дано в [нх-1]. В результате обширного вычислительного эксперимента оказалось, что эта мера удовлетворяет требуемым условиям: числовой коэффициент c(M,H) уверенно различает заведомо зависимые и заведомо независимые династии. Для заведомо зависимых числовых династий (содержащих от 15 до 20 правлений) из эпохи XIV—XX веков коэффициент c(M,H) оказался не превосходящим величины 10^(-8). Здесь он колебался в интервале от 10^(-12) до 10^(-8). А для заведомо независимых числовых династий из той же эпохи, коэффициент оказался не меньше чем 10^(-3) и колебался в интервале от 10^(-3) до 1. Все детали методики описаны в [нх-1].

После проверки эффективности методики на заведомо достоверном материале, она была применена и к «древним» династиям. И тут стали обнаруживаться очень интересные факты.

Мы составили списки всех правителей на интервале от 4000 г. до н. э. до 1800 г. н. э. для Европы, Азии, Египта. Использовались хронологические таблицы Ж. Блера [90] и другие. Детали см. в [нх-1].

К этому набору династий (каждая из которых состоит из 15 царей) была применена методика распознавания зависимых династий. Эксперимент неожиданно обнаружил особые пары династий М и H, считавшихся ранее независимыми (во всех смыслах), но для которых коэффициент близости с(М,H) имеет тот же порядок, что и для заведомо зависимых династий, т. е. колеблется от 1/(10 в степени 12) до 1/(10 в степени 8).

Следовательно, опираясь на результаты проведённого ранее проверочного вычислительного эксперимента можно высказать гипотезу, что эти обнаруженые нами пары династий зависимы, то есть по-видимому описывают одну и ту же династию реальных правителей. Укажем некоторые примеры. Отметим, что для некоторых царей разные хронологические таблицы дают разные годы правлений. Мы собрали все такие доступные нам разночтения и привели их в таблицах книги [нх-1]. Здесь мы не будем подробно разбирать все эти варианты и отсылаем за деталями к книге [нх-1].

1 пара зависимых династий:

М-Римская империя, фактически основанная Люцием Суллой в 82-83 гг. до н. э. и закончившаяся Каракаллою в 217 г. н. э.,

H-Римская империя, восстановленная Люцием Аврелианом в 270 г н. э. и закончившаяся Теодорихом в 526 г. н. э.

Здесь с(М, H) = 1/(10 в степени 12), и династия М получается из династии H сдвигом династии H вниз приблизительно на 333 года. См. рис. 1.10 и рис. 1.11. На рис. 1.11 обе династии изображены на временно?й оси после их совмещения жёстким сдвигом примерно на 333 года.

2 пара зависимых династий:

М-династия израильских царей 922—724 гг. до н. э. (описана в Библии, 1-4 кн. Царств), H-струя из Римской империи, 300—476 гг. н. э. Здесь с(М, H) = 1,3/(10 в степени 12). См. рис. 1.12.

3 пара зависимых династий:

М-династия иудейских царей 928—582 гг. до н. э. (описана в Библии, 1-4 кн. Царств),

H-струя из восточной Римской империи, 300—552 гг. н. э.

Здесь с(М, H) = 1,4/(10 в степени 12). См. рис. 1.13.

Взаимное расположение на оси времени израильских и иудейских царей друг относительно друга было восстановлено нами при анализе Библии и представлено на рис. 1.14.

Указанные выше пары зависимых династий 1-3, обнаруженные нашей методикой, оказались близкими к трём парам династий, указанным Н. А. Морозовым в [10]. В то же время наши пары иногда весьма значительно (особенно в случае №3) отличаются от пар, предложенных в [10] на основании простого подбора. То обстоятельство, что три пары династий, обнаруженные в [10], оказались не оптимальными (с точки зрения коэффициента близости с(М,H)), связано с тем, что Н. А. Морозов основывался всего лишь на «зрительной похожести» графиков династий. Однако наш анализ показал, что таких и даже ещё более «зрительно похожих» и в то же время заведомо независимых пар династий можно предъявить несколько десятков. Именно поэтому, чтобы избежать субъективности в оценке «похожести графиков», и была разработана эмпирико-статистическая методика, позволившая количественно различать зависимые пары династий от заведомо независимых пар.

Все остальные пары зависимых династий, перечисляемые ниже, а также пары, указанные на ГХК (см. далее), были ранее неизвестны и были обнаружены автором настоящей работы при обработке материала ГХК с помощью описанных выше методик.

4 пара зависимых династий:

М-династия римских пап 140—314 гг. н. э.,