В комплексной области С. ф. z^a определяется для всех z ¹ 0 формулой:

 

, (*)

  где k = 0, ± 1, ± 2,.... Если а — целое, то С. ф. z^a однозначна:

 

.

  Если а — рациональное (а = p/q, где р и q взаимно просты), то С. ф. z^a принимает q различных значений:

 

  где e_k =

 — корни степени q из единицы:  и k = 0, 1, …, q - 1. Если а — иррациональное, то С. ф. z^a — бесконечнозначна: множитель e^a2kpi принимает для разных k различные значения. При комплексных значениях а С. ф. z^a определяется той же формулой (*). Например,

 

  так что, в частности,

, где k = 0, ± 1, ± 2,....

  Под главным значением (z^a) С. ф. понимается её значение при k = 0, если —p< argz £ p (или 0 £ argz < 2p). Так, (z^a)= |z^a|e^{ia arg z}, (i)=e ^-p/2 и т.д.

Рис. к ст. Степенная функция.

Рис. к ст. Степенная функция.

Степенной вычет

Степенно'й вы'чет, или вычет степени n по модулю m (n — целое число, большее единицы, m — целое число). Такое число а, для которого сравнение xⁿ — а (modm) разрешимо. В частности, при n = 2 С. в. называется квадратичным вычетом, при n = 3 — кубическим, при n = 4 — биквадратичным.

  Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972.

Степенной ряд

Степенно'й ряд, ряд вида a + a₁z + a₂z² +... + a_nzⁿ +...,

  где коэффициенты a, a₁, a₂,..., a_n,... — комплексные числа, не зависящие от комплексного переменного z. Областью сходимости С. р. является, вообще говоря, открытый круг D = {z: |z| < R} с центром в точке z = 0. Этот круг называется кругом сходимости С. р., а его радиус R — радиусом сходимости С. р. В частных случаях круг сходимости может вырождаться в точку z = 0 (в этом случае R = 0; пример:

) или совпадать со всей комплексной плоскостью (R = ¥; пример: ). Радиус сходимости С выражается через его коэффициенты по формуле Коши — Адамара

 

.

  Во всех точках круга сходимости С. р. сходится абсолютно; в граничных точках этого круга (в точках окружности |z| = R) С. р. может как сходиться, так и расходиться. Примеры:

, R = 1, ряд расходится в каждой точке окружности ;

 

, R = 1,

ряд абсолютно сходится во всех точках окружности

. В любой внешней точке круга сходимости (lzl > R) С. р. расходится. Внутри круга сходимости сумма С. р.  является аналитической функцией; производные любого порядка функции f (z) можно получить почленным дифференцированием данного ряда, причём С. р. совпадает с Тейлора рядом своей суммы.

  А. А. Гончар.

Степень

Сте'пень, в первоначальном понимании (целая и положительная С.) есть произведение нескольких равных сомножителей. Обозначение:

, где а — основание, n — показатель степени, aⁿ — степень. С. a² называется квадратом, a³ — кубом (a² — площадь квадрата, a³ — объём куба со стороной а). Основные действия над С. даются формулами: aⁿa^m = a^n+m; aⁿ: a^m = a^n-m; (aⁿ) ^m = a^nm. Дальнейшие обобщения С.: нулевая a = 1 (при a ¹ 0); отрицательная a^-n = 1/aⁿ;

  дробная

 (см. Двучленное уравнение, Извлечение корня) и С. с иррациональным показателем , где r_п — произвольная последовательность рациональных чисел, стремящаяся к a.

  Все указанные выше правила действий справедливы и для обобщённых С. В теории аналитических функций рассматривают также С. с мнимыми основанием и показателем.

Степень диссоциации

Сте'пень диссоциа'ции, отношение числа молекул, распавшихся при диссоциации, к их общему числу.

Степень окисления

Сте'пень окисле'ния, то же, что окислительное число.