Посмотрите на рисунок 4, где изображён ряд кристаллов кварца. Все эти кристаллики – близкие родственники. Их можно сделать и совсем одинаковыми, сошлифовывая грани на различную глубину параллельно самим себе. Легко видеть, что таким способом, например, кристалл II может быть сделан совершенно таким же, как кристалл I. Эта возможность следует из того замечательного обстоятельства, что углы между сходственными гранями образцов одинаковы, например, между гранями А и Б, Б и В и т.д.[1]

В этом равенстве углов и заключается «семейное» сходство кристаллов. При сошлифовывании граней параллельно самим себе форма кристалла изменяется, но углы между гранями сохраняют своё значение.

При росте кристалла в зависимости от ряда случайностей одни грани могут попасть в условия более благоприятные, другие в менее удобные для увеличения своих размеров. Кристалл вырастет неправильным, родственные взаимоотношения между выросшими в разных условиях образцами станут незаметными, но углы между сходственными гранями всех кристаллов изучаемого вещества будут всегда одинаковы. Форма кристалла случайна, а углы между гранями отвечают (и мы дальше поймём, почему) его внутренней природе.

Этот очень важный закон природы помогает нам узнавать, с каким веществом мы имеем дело. Два образца могут быть внешне очень непохожими, но если измерение показывает, что углы между гранями одинаковы, то имеются серьёзные основания полагать, что мы имеем дело с одним и тем же веществом. Напротив, отсутствие совпадающих углов между гранями говорит за то, что кристаллы принадлежат разным веществам.

Анализ вещества, построенный на этой идее, был разработан творцом современной кристаллографии – так называется наука о строении и свойствах кристаллов – русским учёным Евграфом Степановичем Фёдоровым.

Е.С. Фёдоров не только указал на возможность определения вещества по форме кристалла, но и составил вместе со своими учениками книгу «Царство кристаллов», плод гигантского труда, длившегося свыше 10 лет. Эта книга содержит в себе основы современной кристаллографии и справочный материал о величинах углов между гранями у огромного количества кристаллов.

Для анализа вещества методом Е.С. Фёдорова требуется иметь маленький кристаллик, размером хоть с песчинку. У этого кристаллика мы измеряем на специальных приборах – гониометрах – углы между гранями. Затем, пользуясь правилами, разработанными Фёдоровым, мы определяем, к какой группе веществ принадлежит исследуемый кристалл, и по совпадению данных измерения с цифрами, приведёнными в «Царстве кристаллов», находим, с каким веществом мы имеем дело. Разумеется, анализ не может быть проведён в том случае, если данное вещество никогда не изучалось и сведений о нём нет в книге.

Анализ методом Е.С. Фёдорова оказал уже не мало услуг промышленности. Например, в 1938 году с помощью определителя кристаллов было обнаружено присутствие в россыпях на Урале важнейшей оловянной руды – касситерита, кристаллы которого были ранее ошибочно отнесены к другому минералу – рутилу (окись титана).

Смысл этого слова лучше всего мы поймём на примерах.

На рисунке 5, а изображена скульптура; перед ней стоит большое зеркало. В зеркале возникает отражение, в точности повторяющее предмет. Скульптор может изготовить две фигуры и расположить их так же, как фигуру и её отражение в зеркале (рис. 5, б). Эта «двойная» скульптура будет симметричной фигурой – она состоит из двух зеркально равных частей.

Рис. 5. а – скульптура и её изображение в зеркале; б – симметричная скульптура, состоящая из двух частей.

Действительно, представим себе, что так же, как и на рисунке 5, а, расположено плоское зеркало. Тогда правая часть скульптуры в точности совпадёт с отражением левой её части. Эта симметричная фигура обладает вертикальной плоскостью зеркальной симметрии, которая проходит через середину постамента. Плоскость симметрии – мысленная плоскость, но мы её отчётливо ощущаем, рассматривая симметрично построенное тело.

На рисунках 6 и 7 приведены другие примеры тел, имеющих плоскость симметрии. Плоскостью симметрии обладают тела животных, вертикальную плоскость симметрии можно провести через человека. В животном мире симметрия осуществляется лишь приблизительно, да и вообще идеальной симметрии в жизни не существует. Архитектор может изобразить на чертеже дом, состоящий из двух идеально симметричных половин. Но когда дом будет построен, как бы хорошо его ни делали, всегда можно будет найти разницу в двух соответствующих частях здания: в одном месте есть трещинка, в другом – нет; в одном месте краска положена густо, в другом редко…

Рис. 6. Зеркальную плоскость симметрии имеют тела человека и животных.

Рис. 7. Здание Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова обладает вертикальной плоскостью симметрии.

Наиболее точная симметрия осуществляется в мире кристаллов, но и здесь она не идеальная: наличие невидимых глазом трещинок, царапин всегда делает равные грани слегка отличными друг от друга.

На рисунке 8 изображена детская бумажная вертушка. Она тоже симметрична, но плоскость симметрии через неё провести нельзя. В чём же тогда заключается симметрия этой фигурки? Прежде всего, спросим себя о симметричных её частях. Сколько их? Очевидно, четыре. В чём заключается правильность взаимного расположения этих одинаковых частей? Это также нетрудно заметить. Повернём вертушку на прямой угол, то есть на 1/4 окружности; тогда крыло 1 встанет на то место, где было крыло 2; крыло 2 – на место 3; 3 – на место 4 и 4 – на место 1. Новое положение неотличимо от предыдущего. Про такую фигурку мы скажем так: она обладает осью симметрии и притом осью симметрии 4-го порядка.

Рис. 8. Бумажная вертушка обладает осью симметрии 4-го порядка.

Итак, ось симметрии – это такая прямая линия, поворотом около которой на долю оборота можно перевести тело в положение, неотличимое от исходного. Порядок оси (в нашем случае 4-й) указывает, что такое совмещение происходит при повороте на 1/4 окружности. Следовательно, четырьмя последовательными поворотами мы возвращаемся в исходное положение.

Оси симметрии различных порядков приблизительно осуществляются у цветов. Цветок на рисунке 9, а обладает осью симметрии 2-го порядка – при повороте на 1/2 окружности цветок совмещается сам с собой. При наличии оси 6-го порядка (рис. 9, б) совмещение происходит при повороте на 1/6 долю полного оборота. Цветы яблони, груши и многие другие имеют ось симметрии 5-го порядка. Помимо вертикальной оси симметрии у цветка на рисунке 9, а есть ещё две вертикальные плоскости симметрии, а на рисунке 9, б – 6 плоскостей симметрии. Сообразите сами, как они проходят.

Рис. 9. Оси симметрии 2-го и 6-го порядков у цветов.

На рисунке 10 приведены примеры более сложных случаев симметрии, встречающихся в природе. Организм на рисунке 10, а обладает осью симметрии 4-го порядка, перпендикулярной плоскости рисунка, четырьмя осями симметрии 2-го порядка, лежащими в этой плоскости, и рядом плоскостей симметрии.