— Ясно, — ответил Илюша.
— Прекрасно, — отвечал терпеливый лектор. — Теперь далее. Вы видите, что если взять «три» и «четыре», то одно из этих чисел четное, а другое — нечетное. Может ли быть иначе? Очевидно, нет. Потому что если бы оба эти числа были четные, то у них был бы общий делитель «два», а мы только что выяснили, что это нам не подходит. Теперь: могут ли оба эти числа быть нечетными? Нет, потому что тогда сумма их квадратов должна была бы быть четным числом. Это очень просто проверить. Возьмем два нечетных числа, возведем их порознь в квадрат, а эти квадраты сложим:
(2m + 1) 2 + (2n + 1) 2 = 4m2 + 4m + 1 + 4n2 + 4n + 1 = 4(m2 + n2) + 4(m + n) + 2 = 2[2(m2 + n2 + 2(m + n) + 1].
Ясно, что наша сумма есть четное число. Однако если квадрат какого-нибудь числа есть число четное, то само число и подавно четное. Если же это так, то наша сумма должна делиться без остатка на четыре, ибо всякое четное число можно написать в виде 2n, откуда квадрат его есть 4n2, и он, очевидно, делится на четыре. Попробуем теперь разделить на четыре нашу сумму квадратов двух нечетных чисел:
[4(m2 + n2) + 4(m + n) + 2]/4 = (m2 + n2) + (m + n) + 2/4.
Ясно, что эта сумма на четыре не делится, и мы получаем и остатке «два». Следовательно, наше предположение ведет к противоречию. И два числа в правой части равенства не могут
— 87 —
быть оба нечетными. А так как мы видели, что они не могут быть и оба четными, то ясно, что одно из них четное, а другое нечетное. Вы с этим согласны?
— Согласен, — отвечал внимательно слушавший Илюша.
— Теперь очевидно, что третье число должно быть также нечетным, ибо квадрат четного числа есть четное число, а квадрат нечетного — нечетное. Ясно, что их сумма опять будет числом нечетным. Положим теперь для определенности, что z (сумма) будет нечетным числом, х (первое число) тоже нечетным, а у (второе) — четным. Тогда можно написать, что
y2 = z2 — x2 = (z — x)(z + x)
Отсюда ясно, что выражения (z — х) и (z + x) представляют собой снова четные числа, ибо они суть разности двух нечетных чисел. Следовательно, можно положить:
z + х = 2m; z — х = 2n,
а отсюда
z = m + n; х = m — n.
При этом m и n не имеют общих делителей, и они, как у нас говорят, разной четности, то есть одно из них четное число, а другое нечетное. Но если все это так, то тогда можно написать:
у2 = (z + x) (z — x) = 4mn
и отметить, что, очевидно, m и n суть квадраты. Ибо если бы m содержало какой-нибудь простой делитель в нечетной степени, то недостающий делитель должен был бы входить в n, а в n его не может быть, ибо m и n не имеют общих делителей. Но если это справедливо, то можно написать, что
m = р2; n = q2,
а отсюда окончательно получаем формулы для всех трех наших чисел:
х = p2 — q2; у = 2pq; z = p2 + q2.
Это и есть формулы пифагоровых троек. По этим формулам можно получать любое количество пифагоровых чисел. Например, если у нас р равно пяти, a q равняется четырем, то наши пифагоровы числа будут 40, 9 и 41. Проверим. Сорок в квадрате будет 1600, девять в квадрате — 81, а сорок один в квадрате — 1681. Все в порядке. Ясно?
— 88 —
— Ясно, — скромно ответил Илюша, которому очень правилась эта маленькая лекция.
— Конечно, если наши p и q будут оба нечетные, то наши индусские числа неизбежно будут иметь общий множитель, равный двум. Проверьте, коли не поленитесь! Впрочем… Этими числами даже в древнем Вавилоне занимались! Сохранились таблетки с росписями.
Илюша тщательно проверил вычисления и убедился, что лектор прав.
— Теперь я скажу вам еще несколько слов о судьбе Великой Теоремы. Видите ли, это началось с того, что в семнадцатом веке один из крупнейших математиков всех времен, Пьер Ферма, однажды, читая своего любимого автора — древнего математика Диофанта, записал на полях этой книги свою теорему, о которой мы только что говорили. А записав ее, он добавил следующие слова: «Я нашел поистине удивительное доказательство этой теоремы, но на полях книги слишком мало места, и оно здесь не упишется». И вот с тех пор математики всего мира триста лет бьются и не могут найти это доказательство. Один крупнейший математик, Леонард Эйлер, тот самый, кто впервые обозначил отношение окружности к диаметру греческой буквой π, доказал, что для третьей и четвертой степени теорема Ферма правильна. Но надо вам сказать, что уже для третьей степени его доказательство вводит понятия более сложные, чем те, которые были известны математикам во времена Ферма. В частности, он должен был в этом случае прибегнуть к нашей помощи, то есть к помощи комплексных чисел, частным случаем которых являются обыкновенные числа. И мы ему, разумеется, в этом деле, как умели, помогли. Ведь если посмотреть на все это дело, как говорится, попросту, то легко можно сказать: зачем эти бедные комплексные чудачки возятся в этой башне с такими сложнейшими аппаратами? И все только для того, чтобы доказать, что некоторая задача не может быть решена? И триста лет математики бьются над задачей, от которой никому ни тепло ни холодно! Но это не совсем так. Уже Леонард Эйлер должен был вводить для этой задачи новые числа, то есть расширять понятие числа. А это великое дело. Ибо когда построена новая система чисел, то она работает уже не только для этой задачи, а для всех математиков и для всех проблем. А когда за эту задачу взялся математик Куммер, по имени коего и наш главный аппарат, как вы знаете, называется куммерскопом, то он построил целую теорию, где было очень много нового. И при помощи этой новой теории он доказал нашу Великую Теорему сразу для всех тех показателей степени, которые вырезаны на камне над дверями нашей башни. Причем для трех чисел,
— 89 —
которые светятся над дверями особенно ярко, ему пришлось построить дополнительную теорию. Он расширил наши представления в области математики и дал нам совершенно новые аппараты, которые годятся для очень многих вопросов, в частности и для таких, которые задевают интересы инженеров и других практических деятелей. Я уже не говорю о том, что только благодаря Куммеру вы могли разглядеть на нашем экране Великую хотя бы по пояс. До Куммера можно было рассмотреть разве что бахрому ее мантильи, ибо теорема была доказана только для чисел 3, 5 и 7. В настоящее время теорема доказана вплоть до очень больших показателей степеней.
Вычисления для этого понадобились не шуточные! Чтобы вы могли себе составить представление о том, с какими громадными числами в таком случае приходится иметь дело, укажу, что если возвести число «два» в степень «семьсот», то в результате мы получим число, в котором будет двести с лишком знаков, а если возвести «три» в ту же степень, получим число, в котором будет более трехсот знаков. Я слышал, как вы недавно говорили, что септиллион кажется вам довольно внушительным числом, а ведь в нем всего-навсего только двадцать пять знаков! Вопросами такого рода занимается высшая арифметика, которая называется теорией чисел. Исследования в этой области раскрывают очень много серьезных проблем, с которыми приходится сталкиваться математику.