— Бегом на кухню, испеките торт и принесите его к «минус тысяче»! Но имейте в виду: этот торт — королевская награда, — со значением добавил он.

— К «минус тысяче»? — удивилась Алиса. — Что бы это значило?

Однако поварята всё поняли: они мигом развернулись и, обгоняя друг друга, умчались.

— Давай прогуляемся в ожидании торта, — предложил Король. — Заодно нагуляешь аппетит.

— Для торта у меня всегда есть аппетит, — призналась Алиса.

— Для такого торта, какой тебе принесут, аппетит нужен особый, — заверил Король, подал Алисе руку и повёл её по дороге для королевских прогулок вправо от нуля.

Лет триста назад дроби считались вершиной премудрости: правилам действий с дробями обучали не в школах, а в университетах! Даже сами учёные находили эти правила весьма странными — один итальянский учёный писал: «Как получается, что умножение на дробь приводит к уменьшению? Ведь умножение должно всегда увеличивать!».

Что же заставило заняться «укрощением» дробей — делом, которое растянулось на тысячелетия?

У немцев до сих пор сохранилась поговорка «попал в дроби» — это значит: человек попал в такое положение, что ему не позавидуешь

Первым «упражнением на дроби» был делёж охотничьей добычи: убитого медведя или мамонта надо было разделить на всех членов племени. При этом, конечно, не всегда удавалось разделить на равные части! Отголосок тех времён сохранился и в нашем языке: когда мы делим что-то на две неравные части, мы иногда говорим «большая половина» и «меньшая половина», не замечая даже, что половина не может быть «большей» или «меньшей»!

Со временем, однако, появилась потребность делить и на равные части — например, зерно или поле для посева. И тогда появились дроби: одна вторая, одна треть, одна четвёртая и так далее — такие дроби называются основными.

Другой причиной появления дробей была потребность в измерениях. Чтобы делить поле на участки, обменивать зерно и ткани или следить за временем, надо было научиться измерять площадь, объём, длину, время. Однако в результате измерения не всегда получалось натуральное число: часто приходилось учитывать и части меры — половину, четверть, одну шестую и так далее

При измерениях важно сравнивать величины, а для этого основные дроби совсем не подходят: попробуйте, например, сразу сказать, что больше — одна вторая плюс одна двенадцатая или одна треть плюс одна четверть?

Намного удобнее было бы, конечно, использовать при измерениях одни и те же части и указывать, сколько таких частей надо взять: например, сразу ясно, что двадцать три шестидесятых меньше, чем двадцать пять шестидесятых. И можно даже сразу сказать, на сколько меньше — ровно на две шестидесятых! Мы не случайно взяли шестидесятые части: первыми делить на одинаковые доли догадались древние вавилоняне, которые считали не десятками, а «шестидесятками», поэтому и доли у них были шестидесятые. А когда деления на шестьдесят частей было недостаточно, одну шестидесятую часть делили ещё на шестьдесят частей — получались «три тысячи шестисотые» части. Вам это ничего не напоминает? Тогда взгляните на часы: каждый час разделен на шестьдесят минут, а каждая минута — на шестьдесят секунд! Это привет от вавилонян, которых давно уже нет!

Вавилонские дроби оказались очень удобными для научных измерений (особенно в астрономии), и этими дробями европейские учёные пользовались даже в эпоху Возрождения: натуральные числа записывались в десятиричной системе — так же, как мы это делаем сегодня, а дроби всё ещё оставались «шестидесятиричными»! Казалось бы, надо сделать всего один шаг, чтобы перейти от шестидесятых и «три тысячи шестисотых» долей к десятым и сотым долям, но этот шаг оказался почему-то очень трудным: десятичные дроби ввёл арабский математик ал-Каши только в XV веке. Однако и тогда эти дроби до Европы не добрались — их ввёл в употребление голландский учёный Стевин только в конце XVI века!

Меры в старину отличались удивительным разнообразием! Скажем, расстояние между деревнями измерялось иногда в курительных трубках: сколько можно выкурить трубок, идя от одной деревни до другой. А в Англии долгое время использовалась мера длины «ярд» — эта мера была установлена указом короля Генриха I и равнялась расстоянию от кончика носа короля до конца среднего пальца его вытянутой руки. Это была очень удобная мера: для проверки ее правильности достаточно было просто позвать короля и попросить его вытянуть руку!

Сегодня мы пользуемся главным образом десятичными дробями, чаще всего — в виде процентов. Слово «процент» происходит от латинского слова «центум» (сто): один процент — это одна сотая часть.

Об отношении древних греков к дробям стоит сказать особо: здесь, как и во многом другом, греки оказались непохожими на других. Греческие купцы и строители пользовались дробями вовсю — как без дробей торговать и строить? А вот учёные дробей не признавали! Греческий учёный Платон, который жил в IV веке до нашей эры, писал: «Если ты захочешь делить единицу, математики высмеют тебя и не позволят это делать».

Как ни странно, причиной такого удивительного непризнания дробей был именно высокий уровень греческой математики: греки считали математику наукой строгой и точной, а дроби представлялись им чем-то приближенным, неточным, и, значит, недостойным настоящего учёного. Единственное исключение сделали для музыки: когда Пифагор создал первую теорию музыки, он связал основные гармонические интервалы — октаву, квинту и кварту с дробями — одной второй, двумя третями и тремя четвертями.

И только Архимед, который много занимался практическими приложениями математики (например, он строил боевые машины для защиты Сиракуз от римлян), решился нарушить запрет на использование дробей в «чистой» науке. При этом он сразу ввёл в употребление дроби общего вида — такие, как пять девятых или двадцать две седьмых, то есть любое число любых долей.

Через шестьсот лет после Архимеда другой греческий математик, Диофант, впервые стал рассматривать дроби как числа, а не как доли какого-то предмета или меры. Однако и после Диофанта прошло ещё больше тысячи лет, прежде чем учёные начали изучать дробные числа «сами по себе».

Так произошло первое увеличение «семьи чисел»: к натуральным числам присоединились дробные. С тех пор продолжают появляться всё новые и новые числа и, пока на свете существуют математики, конца новым числам не будет!