Назовем все возможные результаты данного опыта его исходами и предположим, что множество этих исходов, при которых происходит событие А (исходов, благоприятных  событию А), можно представить в виде некоторой области на плоскости. Тогда множество исходов, при которых произойдет событие А+В, является объединением множеств исходов, благоприятных событиям А или В

1.2. Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением нескольких событий называется событие, заключающееся в том, что произошли все эти события.

Пример 3. В примере 1 ( два выстрела по мишени) событием АВ будет попадание обоих стрелков.

Пример 4. Если событие А состоит в том, что из колоды карт извлечена карта пиковой масти, а событие В – в том, что из колоды вынута дама, то событием АВ будет извлечение из колоды дамы пик.

1.3.Разностью А\B событий А и В называется событие, состоящее в том, что А произошло, а В – нет.

Пример 5. Вернемся к примеру 1, где А\ В – попадание первого стрелка при промахе второго.

Пример 6. В примере 4 А\В – извлечение из колоды любой карты пиковой масти, кроме дамы. Наоборот, В \А – извлечение дамы любой масти, кроме пик.

Аксиома 1. Каждому событию соответствует неотрицательное число - вероятность этого события P(A).

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна 1.

Аксиома 3. Вероятность объединения несовместных событий равна сумме их вероятностей, т. е.

.

Это верно как для конечного числа событий , так и для бесконечного (счетного) множества событий.

Построение теории вероятностей на основе данных аксиом принадлежит А.Н.Колмогорову, который в своих работах положил начало созданию теории вероятностей как строгой математической науки.

Вероятность события A Î T есть, как уже говорилось, число. Поэтому вероятность можно трактовать как функцию, ставящую в соответствие некоторому событию определенное число P(A). Функцию P(A), удовлетворяющую Аксиоме 3, называют аддитивной, или счетно-аддитивной, если множество событий бесконечно (часто пишут также "s-аддитивна"). Счетно-аддитивная функция множества называется мерой. В силу Аксиомы 1 и Аксиомы 3 вероятность P(A) представляет собой неотрицательную s-аддитивную функцию множества, т. е. неотрицательную меру.

Пространство элементарных событий W с заданной на нем алгеброй или s-алгеброй множеств T и определенной на T вероятностью - неотрицательной мерой P(A), , называется вероятностным пространством и обозначается (W, T, P). Можно говорить, что математической моделью любого случайного явления в современной теории вероятностей служит вероятностное пространство.

Теорема сложения вероятностей.

Теорема 2.1 (теорема сложения).  Вероятность р(А + В) суммы событий А и В равна

                      Р (А + В ) = р (А) + р (В) – р (АВ).

Доказательство.

Докажем теорему сложения для схемы случаев. Пусть п – число возможных исходов опыта, т_А – число исходов, благоприятных событию А, т_В – число исходов, благопри-ятных событию В, а т_АВ – число исходов опыта, при которых происходят оба события (то есть исходов, благоприятных произведению АВ). Тогда число исходов, при которых имеет место событие А + В, равно т_А + т_В – т_АВ (так как в сумме (т_А + т_В)  т_АВ  учтено дважды: как исходы, благоприятные А, и исходы, благоприятные В). Следовательно, вероятность суммы можно определить по формуле (1.1):

Р (А + В ) = р (А) + р (В) – р (АВ).

что и требовалось доказать.

Следствие 1. Теорему 2.1 можно распространить на случай суммы любого числа событий. Например, для суммы трех событий А, В и С

     Р(А + В + С) = р(А) + р(В) + р(С) – р(АВ) – р(АС) – р(ВС) + р(АВС)

и т.д.

Следствие 2. Если события А и В несовместны, то т_АВ = 0, и, следовательно, вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей:

                 Р(А + В) = р(А) + р(В).

Определение 2.1.  Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу. Если одно из них назвать А, то второе принято обозначать .

Замечание. Таким образом,  заключается в том, что событие А не произошло.

Теорема 2.2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

 р(А) + р() = 1.

Доказательство.

Так как А и  образуют полную группу, то одно из них обязательно произойдет в результате опыта, то есть событие А + является достоверным. Следовательно,

Р( А +) = 1. Но, так как А и несовместны, из (2.4) следует, что Р(А +) = р(А) + р(). Значит,  р(А) + р() = 1, что и требовалось доказать.

Теорема умножения вероятностей.

Определение 2.2. Назовем условной вероятностью р(В/А) события В вероятность события В при условии, что событие А произошло.

Теорема 2.3 (теорема умножения). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

                                р (АВ) = р (А) · р (В/А).

Доказательство.

Воспользуемся обозначениями теоремы 2.1. Тогда для вычисления р(В/А) множеством возможных исходов нужно считать т_А (так как А произошло), а множеством благоприятных исходов – те, при которых произошли и А, и В ( т_АВ ). Следовательно,

 откуда следует утверждение теоремы.

Пример. Для поражения цели необходимо попасть в нее дважды. Вероятность первого попадания равна 0,2, затем она не меняется при промахах, но после первого попадания увеличивается вдвое. Найти вероятность того, что цель будет поражена первыми двумя выстрелами.

Решение. Пусть событие А – попадание при первом выстреле, а событие В – попадание при втором. Тогда р (А) = 0,2, р (В/А) = 0,4, р (АВ) = 0,2·0,4 = 0,08.