Заполненное однородной массой кольцо, происходящее от вращения эллипса вокруг прямой, не пересекающей его, но лежащей в его плоскости и параллельной одной из его главных осей, вращается с постоянной угловой скоростью вокруг этой прямой; Поверхность кольца покрыта бесконечно тонким слоем однородной жидкости, которая притягивается кольцом и, кроме того, центральным телом, центр тяжести которого совпадает с центром кольца. Спрашивается, могут ли быть определены элементы кольца (полуоси эллипса и расстояние его центра до оси вращения) и его угловая скорость так, чтобы жидкость сохраняла положение равновесия относительно поверхности кольца* Для это-* го необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялось уравнение

где п — угловая скорость вращения, V — потенциал кольца в некоторой точке его поверхности, pi — расстояние этой точки до оси вращения, zt — ее расстояние до экваториальной плоскости, М — масса центрального тела, которая принимается сосредоточенной в его центре тяжести, С — постоянная.

Лаплас исследовал эту задачу в предположении, что расстояние центра производящего эллипса от оси вращения очень велико по сравнению с полуосями эллипса [143], что дало ему возможность заменить кольцо эллиптическим цилиндром.

Ковалевская принимает, что линия, производящая кольцо, очень мало отличается от эллипса и обладает осью симметрии, пересекающей при своем продолжении ось кольца под прямым углом, причем каждая прямая, параллельная

(i)

75

оси симметрии, пересекает кривую не более чем в двух точках. Она представляет уравнения поперечного сечения кольца в форме

V х2 + У2 =* 1 — я cos t,

V У (2)

z = a (? sin t + ?i sin 2? + ?2 sin 3? + ...),

где t пробегает значения между нулем и 2я: а, ?, ?i, ?2, постоянные. Таким образом, среднее между наибольшим и наименьшим расстоянием кривой (2) от оси вращения принято за единицу. При этом а считается малой величиной по сравнению с единицей, a ?±, ?2, ... и сумма их абсолютных значений — малыми по сравнению с ?. Ковалевская дает способ определения коэффициентов ?t, ?2, ... так, чтобы левая часть уравнения (1) была всюду отличной от постоянной на малую величину любого порядка относительно а, но ограничивается вычислением приближения второй степени. Она получает поправку к лапласовскому решению, дающую яйцевидные формы поперечного сечения кольца, и находит зависимость между угловой скоростью вращения п, массой тела М и параметрами а и ?. При этом она указывает, что от более точного определения поперечного сечения ее удержало, помимо трудностей вычисления, то обстоятельство, что по исследованиям Максвелла воззрение Лапласа о строении кольца Сатурна является сомнительным. Теперь кольца Сатурна считают состоящими из метеоров [144, с. 894].

Ковалевская указывает, что она занималась вопросом об устойчивости жидкого кольца (при массе центрального тела, равной нулю), представляющим большой теоретический интерес, но не получила определенных результатов6. Тиссеран в «Курсе небесной механики» [145] подробно изложил работу Ковалевской о кольце Сатурна, снабдив ее графиками и разъяснениями.

Третьей из представленных работ была статья «О приведении одного класса абелевых интегралов третьего ранга к интегралам эллиптическим» [2]. Для этой задачи не требовалось больших творческих способностей, но нужно было основательное знакомство с теорией абелевых функций, одной из труднейших теорий математического анализа.

Рангом р кривой ?г-го порядка называется число, на которое отличается действительное число двойных точек

6       Впоследствии была обнаружена неустойчивость такого кольца.

См.: Ламб Г, Гидродинамика. М.: Гостехиздат, 1947.

76

кривой от максимального числа, возможного для кривой этого порядка. При р=0 алгебраическая кривая имеет наибольшее число двойных точек, свойственное ее порядку, а именно

72 (п—1)(п—2).

Вместе с тем ранг алгебраической функции / (х, у) равняется числу дыр в канонической поверхности Римана для этой функции [146, с. 161].

Ковалевская говорит, что в своей работе она пытается «для случая, когда между х ж у имеет место уравнение третьего ранга, получить алгебраические соотношения, которые должны иметь место между коэффициентами этого уравнения, когда среди интегралов Ц F (х, у) dx должны

находиться такие, которые с помощью преобразования второй степени приводятся к эллиптическим» [13]. Предполагается, что у есть решение уравнения / (х, у)= 0, где /(#, у) — целый полином.

Преобразованием второй степени называется некоторое алгебраическое преобразование, представляющее обобщение линейного преобразования (или преобразования первой степени). Для уравнения второго ранга и преобразования второй степени задача была уже рассмотрена до Ковалевской Л. Кёнигсбергером [148].

Ковалевская полностыа исследовала поставленную задачу, исходя из общих результатов Вейерштрасса, представленных в трансцендентной форме. В частности, Ковалевская исследует гиперэллиптический интеграл, в котором под знацом корня стоит полином восьмой степени.

С. В. Ковалевская получила степень доктора с высшей похвалой — summa cum laude.

Больше всех радовался победе своей ученицы Вейер- штрасс, во всяком случае больше, чем сама Соня. Она уже была в России, и Вейерштрасс написал ей (21 сентября 1874 г.) о своем посещении Гейдельберга. Когда он был у Кёнигсбергера, то Бунзен, явившийся несколько позже, «принес с собой газету, где было напечатано, что одной ученой даме из Москвы, г-же С. фон Ковалевской, Геттингенским философским факультетом присвоена докторская степень... Это явилось для всех сенсацией,— я умышленно ничего об этом не говорил. Потом, разумеется, говорили много о Тебе и о Твоих обеих сокурсницах [Ю. В. Лермонтовой и Ж. Евреиновой — юристе]» [125, с. 189].

77

Прошло пять лет упорного труда. За эти годы Ковалевская совершила несколько путешествий — была в Лондоне, Париже, Цюрихе. Ее жизнь в Берлине была малокомфортабельной из-за неопытности и неумения устраиваться.

Ю. В. Лермонтова вспоминает: «В целом наша жизнь в Берлине, на дурной квартире, с дурной пищей, среди дурного воздуха, при бесперерывной и очень утомительной работе и при отсутствии какого бы то ни было развлечения была до такой степени безрадостна, что я вспоминала о первом времени пребывания в Гейдельберге, как об утраченном рае. И Софа также, получивши осенью 1874 г. звание доктора, чувствовала такой упадок сил в умственном и физическом отношении, что долгое время спустя после своего возвращения в Россию не могла приняться ни за какую работу» [64, с. 387].

Воспоминания Ю. В. Лермонтовой

Юлия Лермонтова оставила интересные воспоминания о жизни в Гейдельберге и Берлине с Софьей Васильевной [147]. Прежде всего приведем из них строки, рисующие юную Соню Ковалевскую: «Ее выдающиеся способности, любовь к математике, необыкновенно симпатичная наружность при большой скромности располагали к ней всех, с кем она встречалась. В ней было прямо что-то обворожительное. Все профессора, у которых она занималась, приходили в восторг от ее способностей; при этом она была очень трудолюбива, могла по целым часам, не отходя от стола, де- йать вычисления по математике.

Ее нравственный облик дополняла глубокая и сложная душевная психика, какой мне никогда впоследствии не удавалось ни в ком встречать» [147, с. 377].

Ю. В. Лермонтова продолжает: «Среди всех этих преданных политике женщин и девушек, в большей или меньшей степени истощенных жизнью, она производила совершенно своеобразное впечатление своею детской наружностью, доставившее ей ласковое прозвище «воробышка». Ей минуло уже восемнадцать лет, но на вид она казалась гораздо моложе. Маленького роста, худенькая, но довольно полная в лице, с коротко обстриженными вьющимися волосами темно-каштанового цвета, с необыкновенно выразительным и подвижным лицом, с глазами, постоянно менявшими выражение, то блестящими и искрящимися, то глу¬