Одной из важных особенностей многообразий является их гладкость. Это свойство прямо вытекает из их определения, поскольку из сходства каждого малого участка поверхности с евклидовым пространством напрямую следует гладкость поверхности во всех точках. Геометры говорят о гладкости многообразия даже в том случае, если оно имеет некоторое количество «странных» точек, в которых условие локальной евклидовости не выполняется — например, точка пересечения двух линий. Такие точки носят название топологических сингулярностей, поскольку их в принципе невозможно сгладить. Вне зависимости то того, насколько мала выбранная вокруг такой точки окрестность, пересечение все равно останется пересечением.

Подобные вещи постоянно встречаются в римановой геометрии. В начале преобразования объект может быть гладким и простым для исследований, но стоит нам приблизиться к определенному пределу — скажем, постепенно заостряя его форму или срезая углы, — и возникновение сингулярности станет неизбежным. Впрочем, геометры обычно столь либеральны в этом вопросе, что даже пространство, имеющее бесконечно большое число сингулярностей, в их глазах все равно остается многообразием — в этом случае они называют его сингулярным пространством, или сингулярным многообразием, и рассматривают как предельную форму гладкого многообразия. При этом вместо двух линий, пересекающихся в одной точке, чаще рассматривают плоскости, результатом пересечения которых будет линия.

Это и есть грубое определение понятия многообразия. Теперь что касается слова «комплексное». Комплексным называется такое многообразие, каждой точке которого можно сопоставить определенное комплексное число. Подобное число имеет вид a + ib, где а и b — действительные числа, a i — так называемая мнимая единица, определяемая как квадратный корень из -1. Как и координаты точки на плоскости, которые можно изобразить на графике с двумя осями x и y, одномерные комплексные числа можно изобразить на графике с двумя осями, соответствующими вещественной и мнимой частям.

Комплексные числа полезны по нескольким причинам — прежде всего потому, что они дают возможность извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. При помощи комплексных чисел можно решить квадратное уравнение вида ax² + bx + c = 0 при помощи формулы, которую многие из вас учили в средней школе x = (-b ± √(b²-4ac))/2a вне зависимости от того, какое значение имеют величины a, b и c. После того как комплексные числа введены, уже не нужно ломать руки в отчаянии, если дискриминант b²-4ac вдруг окажется отрицательным; несмотря на это, уравнение все равно будет иметь решение.

Комплексные числа важны, а иногда просто незаменимы для решения полиномиальных уравнений, содержащих одну или несколько переменных и постоянных. Задача, как правило, состоит в нахождении корней уравнения — точек, в которых значение полинома обращается в нуль. Если бы комплексных чисел не существовало, многие из подобных задач не имели бы решения. Наиболее простым примером является уравнение x² + 1 = 0, не имеющее вещественных корней. Данное равенство будет верным, то есть полином обратится в нуль, только в случае когда x = i или x = -i.

Кроме того, комплексные числа важны для понимания волновых процессов, поскольку комплексная амплитуда содержит информацию не только об амплитуде, но и о фазе волны. Две волны, имеющие одинаковую амплитуду и частоту, могут либо совпадать по фазе, и тогда волны накладываются друг на друга и результирующая волна будет равна их сумме, либо не совпадать — и тогда волны частично или полностью погасят друг друга. Если фаза и амплитуда волны выражены при помощи комплексного числа, то сложение двух волн сводится к сложению или умножению двух комплексных чисел. Выполнить этот расчет без привлечения комплексных чисел также возможно, но он будет намного сложнее, точно так же, как расчет движения планет в Солнечной системе можно произвести и в геоцентрической системе, но уравнения будут проще и изящнее, если поставить в центр физической картины Солнце, роль комплексных чисел в описании волновых процессов сделала их незаменимыми для физики. Так, в квантовой механике каждая элементарная частица может быть представлена в виде соответствующей волны. Квантовая механика в свою очередь является ключевым компонентом разнообразных теорий квантовой гравитации, претендующих на роль так называемых «теорий всего». С этой точки зрения возможность описывать волны при помощи комплексных чисел является заметным преимуществом.

Впервые комплексные числа были задействованы для вычислений в книге итальянского математика Джероламо Кардано, опубликованной в 1545 году. Однако роль комплексной геометрии как значимой дисциплины была признана только спустя три столетия. Человеком, который вывел комплексную геометрию на передний план математики, стал Георг Фридрих Бернхард Риман — архитектор первых подробно исследованных комплексных многообразий — так называемых римановых поверхностей. Эти поверхности приобретут особую важность в теории струн, созданной почти через сто лет после смерти Римана. Когда крошечная замкнутая струна, являющаяся основным элементом теории струн, движется в многомерном пространстве-времени, поверхность, которую она заметает за собой, является римановой. Использование таких поверхностей для расчетов в рамках теории струн сделало их одними из наиболее исследованных поверхностей в современной теоретической физике. Теория римановых поверхностей существенно обогатилась от сотрудничества с теорией струн, поскольку полученные из физического описания уравнения весьма укрепили ее математическую часть.

Римановы поверхности, подобно обычным двухмерным многообразиям, являются гладкими, но из их комплексной природы — они являются одномерными комплексными многообразиями — следует наличие у них дополнительной встроенной структуры. Одна особенность, автоматически следующая из комплексной природы поверхности, но не всегда присущая действительным поверхностям, состоит в том, что все окрестности поверхности связаны друг с другом определенным образом. Спроецировав небольшой фрагмент искривленной римановой поверхности на плоскость и затем проделав ту же операцию для всех окружающих его фрагментов, можно получить карту, похожую на ту, которая получается при изображении трехмерного глобуса в двухмерном географическом атласе мира. Если сделать подобную карту на основе римановой поверхности, то расстояния между различными объектами на этой карте будут искажены, однако углы между ними сохранятся. Та же идея — сохранение углов за счет искажения расстояний — использовалась и на появившихся в XVI столетии картах, основанных на проекции Меркатора, которые представляли земную поверхность не в виде сферы, а в виде цилиндра. Сохранение углов при так называемом конформном отображении земного шара на карте в те времена было необходимо для целей навигации и помогало капитанам кораблей держать выбранный курс. Использование конформного отображения существенно упрощает расчеты, относящиеся к римановым поверхностям, делая возможным для таких поверхностей доказательство многих утверждений, недоказуемых для поверхностей, не являющихся комплексными. Наконец, римановы поверхности, в отличие от обычных многообразий, должны быть ориентируемыми, а это означает, что способ определения направлений — ориентация системы координат — не зависит от местоположения точки на поверхности. Противоположная ситуация имеет место для ленты Мёбиуса — классического примера неориентируемой поверхности, в процессе перемещения по которой направления могут меняться местами — низ становится верхом, левое — правым, направление по часовой стрелке переходит в направление против часовой стрелки.

Переход от одного участка римановой поверхности к другому приводит к изменению системы координат, и только небольшая окрестность каждой из заданных точек имеет вид евклидового пространства. Эти небольшие участки нужно сшить вместе так, чтобы переход от одного из них к другому не приводил к изменению углов. Именно это и имеют в виду, когда называют подобные переходы, или «преобразования», конформными. Конечно, комплексные многообразия возникают и в измерениях с более высокой размерностью — римановы поверхности представляют собой только их одномерный вариант. Но вне зависимости от размерности, чтобы получить комплексное многообразие, необходимо должным образом соединить различные его участки или фрагменты. При этом для многообразий более высокой размерности в процессе перехода от одного участка к другому и от одной системы координат к другой углы не сохраняются. Строго говоря, такие преобразования уже не являются конформными, но представляют собой скорее обобщение одномерного случая.