Таким образом, пугающее своим видом выражение, полученное двумя абзацами выше, которое необходимо было каким-то образом проинтегрировать, чтобы получить из него длину, свелось к выражению 2/(1 — x²). Нетрудно заметить, что когда x стремится к единице, это отношение стремится к бесконечности, и точно так же стремится к бесконечности, или, как говорят математики, расходится, и его интеграл.

Важно отметить, что из стремления к бесконечности метрических коэффициентов — в данном случае G₁₁ и G₂₂ — еще не следует, что расстояние до границы также стремится к бесконечности. Но именно это имеет место в случае метрики Пуанкаре на единичном круге. Рассмотрим внимательнее, что происходит с этими значениями при движении в направлении от центра круга с течением времени. В начальной точке, где x = 0 и y = 0, оба коэффициента, G₁₁ и G₂₂ равны 4. Однако при приближении к границе круга, где сумма квадратов x и y близка к 1, метрические коэффициенты резко возрастают, как и длины тангенциальных векторов. К примеру, когда x = 0,7 и y = 0,7, G₁₁ и G₂₂ равны 10 000. При x = 0,705 и y = 0,705 значения коэффициентов будут больше 100 000; а для x = 0,7071 и y = 0,7071 — превысят 10 миллиардов. При приближении к границе круга эти коэффициенты будут не просто возрастать, но в конце концов устремятся к бесконечности — так же, как и расстояния до границы. Если бы вы были жуком, ползущим по поверхности в направлении границы круга, то, к величайшему огорчению, вы никогда бы ее не достигли. Впрочем, вы бы ничего не потеряли, поскольку данная поверхность не имеет границы в принципе. Если поместить открытый единичный круг на плоскость, то он приобретет границу в виде единичной окружности, являющейся частью данной плоскости. Но сам единичный круг Пуанкаре границы не имеет, и любой жук, пытающийся до нее добраться, умрет, так и не осуществив своей мечты. Этот непривычный и, возможно, противоречащий интуиции факт является результатом отрицательной кривизны единичного круга, обусловленной метрикой Пуанкаре.

Мы потратили некоторое время на обсуждение понятия метрики, для того чтобы уяснить для себя сущность кэлеровой метрики и кэлерового многообразия — многообразия, оснащенного подобной метрикой. Определить, является ли та или иная метрика кэлеровой, можно, исследуя ее изменение при переходе от одной точки к другой. Кэлеровы многообразия являются подклассом комплексных многообразий, известных как эрмитовы многообразия. При помещении начала комплексной системы координат в любую точку эрмитового многообразия метрика будет совпадать со стандартной евклидовой метрикой для данной точки. Однако при смещении из этой точки метрика становится все более и более неевклидовой. Выражаясь более строго, при смещении из начала координат на расстояние ε (эпсилон) метрические коэффициенты сами по себе изменятся на величину порядка ε. Такие многообразия принято характеризовать как евклидовы многообразия первого рода. Таким образом, если ε составляет одну тысячную миллиметра, то при смещении на ε коэффициенты эрмитовой метрики останутся постоянными в пределах одной тысячной миллиметра или около того. Кэлеровы многообразия являются евклидовыми многообразиями второго рода, что означает еще большую стабильность их метрики; метрические коэффициенты на кэлеровом многообразии при смещении из начала координат на ε изменяются как ε². Продолжая предыдущий пример, для кэлерова многообразия при смещении на ε = 0,001 мм метрика изменится на 0,000001 мм.

Итак, что же побудило Калаби выделить кэлеровы многообразия как одни из наиболее интересных? Для того чтобы ответить на этот вопрос, следует рассмотреть все возможные варианты. Если требовать полной строгости, можно настаивать, к примеру, на том, чтобы многообразия были совершенно плоскими. Но совершенно плоскими являются только те компактные многообразия, которые имеют форму бубликов, торов и других близких к ним объектов, — что остается верным для любых размерностей, начиная от двух и выше. Тороидальные объекты просты для изучения, но их количество ограничено. Математикам интереснее исследовать более разнообразные объекты, дающие им более широкий спектр возможностей. С другой стороны, требования для причисления многообразий к категории эрмитовых слишком слабы — следовательно, число возможных объектов чрезвычайно велико. Кэлеровы многообразия, лежащие между эрмитовыми и плоскими, имеют как раз такой набор свойств, который нужен геометрам. Их структура достаточно развита, чтобы упростить работу с ними, но не настолько, чтобы ограничить математика в выборе многообразия, удовлетворяющего его спецификациям.

Другой причиной внимания к кэлеровым многообразиям стала возможность использования для их исследования методов, введенных Риманом, которые впоследствии использовал Эйнштейн. Эти методы работают на кэлеровых многообразиях, представляющих собой ограниченный класс эрмитовых многообразий, но в целом к эрмитовым многообразиям неприменимы. Мы крайне заинтересованы в возможности использования данных методов, поскольку их надежность была проверена еще в процессе разработки самим Риманом, кроме того, математики имели более столетия на их дальнейшее усовершенствование. Все это делает кэлеровы многообразия весьма привлекательным выбором, поскольку мы по сути уже имеем на руках технологию работы с ними.

Но и это еще не все. Данные многообразия заинтересовали Калаби из-за тех типов симметрии, которыми они обладают. Кэлеровы многообразия, как и все эрмитовы многообразия, обладают вращательной симметрией при умножении векторов на их поверхности на мнимую единицу i. Для случая одного комплексного измерения точки описываются парой чисел (a, b), взятой из выражения a + bi. Допустим, что координаты (a, b) определяют тангенциальный вектор, выходящий из начала координат. При умножении вектора на i его длина сохраняется, хотя сам вектор поворачивается на 90 градусов. Чтобы посмотреть на это вращение в действии, возьмем некую точку (a, b) или a + bi. Умножение на i даст в результате ia - b или, что эквивалентно, -b + ia, что соответствует новой точке (-b, a) на комплексной плоскости, определяющей вектор, ортогональный исходному и имеющий одинаковую с ним длину.

Можно легко убедиться в том, что эти вектора действительно перпендикулярны, нарисовав точки (a, b) и (-b, a) на координатной плоскости и измерив углы между отрезками, выходящими из начала координат и заканчивающимися в данных точках. Операция, о которой идет речь, — преобразование координаты x в координату (-y), а координаты y в координату x — носит название J-преобразования, которое на вещественной плоскости является аналогом умножения на i на комплексной. Дважды проведенное J-преобразование (или J²) аналогично умножению вектора на -1. Дальнейшее объяснение будет идти именно в терминах поворотов (J-преобразований), а не в терминах умножения на мнимую единицу, поскольку процесс преобразования проще представить — не важно, в голове или на бумаге — на вещественной, а не на комплексной координатной плоскости. При этом нужно не забывать, что J-преобразование является только удобной иллюстрацией комплексного умножения на i путем перехода к двухмерным вещественным координатам.

Все эрмитовы многообразия имеют этот тип симметрии: J-преобразования поворачивают все вектора на 90 градусов, сохраняя их длины неизменными. Кэлеровы многообразия, представляющие собой подмножество эрмитовых многообразий, обладают такой же симметрией. Кроме того, кэлеровы многообразия обладают так называемой внутренней симметрией — специфическим типом симметрии, который должен сохраняться при перемещении между любыми двумя точками пространства с кэлеровой метрикой. Многие из видов симметрий, с которыми мы постоянно сталкиваемся в природе, относятся к группе вращений.