Во втором случае по решении установится вид:

ход же рассуждения будет таков. Начинаем с деления 27 на 7 и вычитания частного, 3, из числа, образованного добавлением в качестве префикса остатка, 6, к следующей цифре, 9; то есть говорим: «3 из 69 будет 66». Затем делим это 66 на 7 и вычитаем частное, 9, из числа, образованного добавлением в качестве префикса остатка, 3, к следующей цифре, 1; то есть говорим: «9 из 31 будет 22». Затем говорим: «3 из 10 будет 7, 1 из 3 будет 2, 0 из 28 будет 28, 4 из 5 будет 1, 0 из 16 будет 16, 2 из 24 будет 22, 3 из 15 будет 12, 1 из 55 будет 54, 7 из 58 будет 51, 7 из 23 будет 16, 2 из 26 будет 24, 3 из 31 будет 28, 4 из 1 [вычесть] нельзя, но (тут мы вбрасываем добавочный делитель) 4 из 72 будет 68».

§3. Степени 10

«Остаток-10» есть последняя цифра, «остаток-10²» есть число, образованное двумя последними цифрами и так далее.

Эти остатки годятся в качестве начальных делимых для всех чисел, множители которых есть степени множителей 10, тот есть [степени чисел] 2 и 5. Так, «остаток-32» можно найти, взяв число, образованное последними пятью цифрами и разделив его на 32. Точно так же 80 есть 2⁴ × 5; следовательно, «остаток-10⁴» годится для того[, чтобы найти «остаток-80»].

§4. Множители делителей вида ht ± 1

«Остаток-21» годится в качестве начального делимого для 7 (множитель [числа 21] есть также множитель 9). Но этот остаток (из-за малой величины h, которая постоянно даёт вычитаемое, превосходящее уменьшаемое) находится с таким трудом, что лично я предпочитаю находить «остаток-7» обычным делением.

«Остаток-39» годится для 13, [остаток-] 51 — для 17, [остаток-] 69 — для 23.

.          .          .          .          .          .          .          .          .           .           .

.          .          .          .          .          .          .          .          .           .           .

.          .          .          .          .          .          .          .          .           .           .

Мистер Эскью в письме №1274 от 30 мая спрашивает о доказательстве метода установления делимости числа на семь, которое, как он утверждает, открыто мистером Рикардом из Бирмингема. Оно, возможно, многими открыто; к примеру, моим отцом, который обучил меня ему лет тридцать назад. Проверочное число одинаково полезно для 7, 11 и 13. Метод, разработанный моим отцом, даёт, в случае делимости числа на все эти три величины, также ещё одну величину без дальнейшего труда; и в этом отношении он имеет преимущество перед методом мистера Рикарда.

Если некое число N разметить, начиная с правого конца, на периоды в три разряда, обозначив эти периоды через a, b, c и т. д., и если M будет разницей между суммами перемежающихся периодов, то получим, записывая r вместо 1000,

N = a + br + cr + dr + и т. д.

M = a – b + c – d + и т. д.

Тогда

N – M = b(r + 1) + c(r² – 1) + d(r³ + 1) + и т. д.

и делимо на (r + 1); следовательно, если M делимо на (r + 1) или на какой-либо его множитель, то так же и N. И в этом случае r + 1 = 1001 = 7 × 11 × 13.

Правило моего отца состояло в том, чтобы поместить самый правый период под следующим и произвести вычитание, поместив остаток вновь под следующим периодом и так далее. В последнем периоде вычитание производится вверх ногами, если нижнее число окажется большим. В нашем примере, поскольку мы имеем 1, которая переносится в последний период, число 931 следует читать как 932. Конечный остаток, 924, есть наше проверочное число, и поскольку оно делимо на 7 и на 11, то исходное число также на них делится.

Если случится так, что проверочное число окажется равным нулю, то вторая строка сделается частным от деления данного числа на 1001, то есть множителем, остающимся после сокращения на 7, на 11 и на 13. В самом деле, обозначим вторую строку через V; приписывая в конце три нуля, получаем 1000V; а мы знаем, что если вычесть её из верхней строки, то остатком будет V. Следовательно, N = 1001V = 7 × 11 × 13 × V. Если бы в  вышеприведённом примере крайний левый разряд составлял 932 вместо 8, то проверочное число оказалось бы нулём.

Если такие периоды составить из единичных разрядов, то есть если r = 10, мы получаем критерий делимости на 11 и в то же самое время частное после сокращения на 11. Изложенное правило требует поместить последнюю цифру под соседней, вычесть, разность поместить под следующей и так далее. В нашем примере проверочное число равняется нулю; следовательно, данное число — это 11 × 5852053.

С периодами по два разряда мы получаем критерий делимости на 101; то же для четырёх или более разрядов.

Ч. Л. Доджсон

К. Ч., Оксфорд     

P. S. Сумма всех периодов даёт нам, для периодов из 1, 2, 3 и т. д., разрядов, критерий делимости на 9, 99, 999 (= 27 × 37) и т. д., или для любого множителя этих чисел. Для этого метода также можно выработать правило, аналогичное вышеизложенному; например, для критерия в отношении 999 размечаем на периоды по три, пишем 000 поверх крайнего правого периода и вычитаем, записывая разность поверх следующего и так далее. Следовательно, если так же случится, что проверочное число обратится в нуль, верхняя строка (за опусканием 000) станет частным от деления данного числа на 999.

Вероятно, похожие правила можно выработать для большинства простых чисел. Я сам разработал достаточно простые правила для 17 и 19, но подобные процедуры скорее любопытны, чем удобны.

Натолкнувшись на следующий способ вычисления в уме дня недели для любой заданной даты, шлю его Вам в надежде, что он заинтересует некоторых из Ваших читателей. Сам я считаю медленно; и поскольку, как я обнаружил, среднее время, затрачиваемое мной на решение всех таких задач, составляет двадцать секунд, то для тех, кто считает быстро, хватит, несомненно, и пятнадцати.

Берём заданную дату четырьмя частями, а именно: количество сотен, количество лет сверх, месяц, день.

Вычисляем следующие четыре величины, прибавляя каждую, по её нахождении, к общей сумме предыдущих величин. Если какая-то величина либо такой итог превышает 7, делим на 7 и сохраняем один лишь остаток.

Член «сотни». — Для старого стиля (который закончился 2 сентября 1752 года), вычитаем из 18. Для нового стиля (который начался 14 сентября [того же года] [12]) делим на 4, избыток отнимаем у 3, оставшееся умножаем на 2.

Член «годы». — Складываем вместе количество дюжин, избыток и количество четвёрок в избытке.