Что получение календарной даты такого «загадочно»-подвижного праздника, как Пасха, путём изложенных в вышеперечисленных пунктах простых выкладок не есть фокус и не содержит ничего надуманного, можно видеть уже из цитированного отрывка книги Роуза Болла, словесно излагающего исходные формулы Гаусса. Например, Роуз Болл тоже начинается с предварительного нахождения остатков от деления нужного года на 4, на 7 и на 19. Читатель получит вполне наглядное видение всей задачи, «стоит только» (как указывает и сам Уильям Роуз Болл в предисловии к первой, арифметической, главе своей книги) «перевести все операции на строгий математический язык». Проделаем же здесь эту процедуру: приведём формулы Гаусса к Доджсонову виду. Но сначала ещё раз разъясним их физический смысл. Как постановил в 325-м году Никейский собор, первый день Пасхи (его дата и обозначается через P) должен совпадать с воскресеньем, непосредственно следующим за днём пасхального полнолуния, а в качестве последнего следует принимать то, которое наступает либо 21 марта (день весеннего равноденствия в год собора), либо непосредственно после него; иными словами, P = V + D, где V — это дата пасхального полнолуния, равная 21 + d (т. е. d есть промежуток между 21 марта и пасхальным полнолунием), D — это количество дней, через которое после пасхального полнолуния наступает Пасха, то есть разность между датами воскресенья S, наступающего после 25 февраля, и пасхального полнолуния V; так как это количество не менее 1 и не более 7, следует записать: D = |(S – V)/7|, или, поскольку остаток 0 может быть замещён 7, D = |(S – V + 6)/7| + 1. Далее, S = 2a + 4b + n – 6, в каковом выражении буквы a, b, n означают то же, что у Роуза Болла (и см. ниже). Подставив выражения для S и V в формулу для D, получим D = |(2a + 4b + n – 6)/7| + 1, или D = e + 1.

Итак, число P, на которое приходится Пасха, определяется следующими выражениями:

P = 22 + (d + e) марта                                       (1)

или, если P превысит 31,

P = (d + e) – 9 апреля.                                       (2)

Входящие в эти формулы величины таковы: d = |(19c + m)/30|, e = |(2a + 4b – d + n)/7|.

Таковы формулы Гаусса (за опущенными подробностями мы отсылаем читателя к статье базельского профессора Г. Кинкелина 1870-го года, тогда же перепечатанной по-русски в «Математическом сборнике Московского математического общества», т. V, с. 73—92 — перевёл и дополнил Н. Сонин; доказательство формул Гаусса просто и вместе с тем строго впервые было дано именно в этой статье). Здесь a в обозначениях Роуза Болла — это 4-Rem данного года у Доджсона; b и c соответствуют, аналогично, 7-Rem и 19-Rem. У Доджсона тоже есть величина a (из таблицы); чтобы не путать её с болловой (то есть, с 4-Rem), обозначим её здесь как a_c (кэрроллова).

Рассмотрим выражение, раскрывающее величину d; добавив в числитель сократимые величин, кратные 30, получим

d = |(19c + m)/30| =  |(19c – 30c + m – 30)/30| = | – (11c + a_c)/30| = ∆,

где ∆ есть тот дефект числа 11c + a_c от наибольшего кратного 30, содержащего в себе это число, о котором Доджсон говорит в пункте 3) параграфа 3 своей работы. (В самом деле, этот дефект есть величина 30w – 11с – a_c, где w — некоторое число, выбираемое таким образом, чтобы значение всего выражения по модулю было меньше 30; это и приводит нас к вышеуказанному виду для ∆.) Отметив, кроме того, что n из таблицы в книге Роуза Болла соответствует h из Доджсоновой таблицы, запишем:

e = |(2a + 4b + h – ∆)/7|.

Подставляя преобразованные таким образом величины d и e в формулу (1), получаем:

P = 22 + d + e = 22 + ∆ + |(2a + 4b + h – ∆)/7|.

Отметив также, что |(2a + 4b + h)/7| есть Доджсоново k, и разложив ∆ на сумму наибольшего кратного 7, содержащегося в ∆, и остатка от деления на 7, запишем:

P = 22 + 7{∆/7} + |∆ /7|+ k – |∆ /7|

с точностью до 7. Таким образом,

P = 22 + k + 7{∆ /7} марта                                      (1*)

либо, аналогично,

P = k + 7{∆ /7} – 9 апреля.                                    (2*)

Это есть Доджсонов вид формул Гаусса. В таком виде, однако, они пригодны лишь для случая, когда, как указывает Доджсон, k + 7{∆ /7} «дотягивает» до ∆. В самом деле, ведь величина k + 7{∆ /7} в формулах Доджсона, эквивалентная сумме d + e в формулах Гаусса, не может быть менее d: «дотягивать» до пасхального полнолуния она обязана. Если этого не происходит, мы должны ещё прибавить сюда недостающую нам семёрку. И тогда

P  = 29 + k + 7 марта                                      (3)

либо

P = k + 7 – 2 апреля.                                    (4)

Как тут поступать, Доджсон поясняет в небольшой статье «Мнемоническая техника», которую мы здесь и приведём по книге Доджсона Коллингвуда «Жизнь и письма Льюиса Кэрролла».

«Моя мнемоническая техника есть видоизменение методики Грея; но в то время как тот для представления цифр использует как согласные, так и гласные, и вынужден удовлетвориться слоговой белибердой в выражении даты и всякого иного нужного числа, я использую одни согласные, а гласными лишь разбавляю их сколько понадобиться; таким образом, мне всегда удаётся выстроить настоящее, существующее слово для всего, что ни требуется выразить.

Принципы, на основании которых были отобраны двадцать согласных, таковы.

1:<отобраны> «b» и «c», как первые две согласные алфавита.

2: «d» из «duo» <‘два’ лат.>и «w» из «two» <‘два’ англ.>.

3: «t» из «tres» <‘три’ франц.>, о второй немного позже.

4: «f» из «four» <‘четыре’ англ.> и «q» из «quattuor» <‘четыре’ франц.>.

5: «l» и «v», поскольку «l» и «v» суть римские обозначения пятидесяти и пяти.

6: «s» и «x» из «six» <‘шесть’ англ.>.

7: «p» и «m» из «septem» <‘семь’ лат.>.

8: «h» из «huit» <‘восемь’ франц.> и «k» из греческого слова «okto» <‘восемь’>.

9: «n» из «nine» <‘девять’ англ.> и «g» как напоминающее девятку видом.

0: «z» и «r» из «zero» <‘ноль’ англ.>.

Теперь у нас имеется ещё один согласный, ожидающий своей цифры, а именно «j», и одна цифра, ожидающего своего согласного, а именно «3»; вывод очевиден.

Результат представим в виде таблицы:

Когда найдено слово, чьи последние согласные представляют нужное число, лучше всего действовать так: поместить это слово последним в рифмованный куплет, так что если даже остальные слова из этого куплета забудутся, рифма спасёт единственное действительно важное слово.

Теперь предположим, что вы желаете запомнить дату открытия Америки, то есть год 1492. Без «1» мы можем обойтись — эта единица очевидна; тогда нам нужно лишь 492. Запишем это так:

Теперь попытаемся отыскать слово, содержащее «f» или «q», «n» или «g», «d» или «w». Такое слово сразу же само напрашивается: «found» <‘находить’ англ.>.

После этого к делу привлекается поэтическая способность, и вот возникает такой куплет:

По возможности сочиняйте такие куплеты сами: их вы запомните лучше, чем чьи-либо чужие.

Июнь 1888 г».

Перевод этой мнемонической строфы таков: «Спишите эту песенку себе! Столь же нехорошо оставить в живых блоху, как и ограбить пчелу». Согласные третьей строки английского текста в соответствии со сказанным в предыдущем примечании последовательно подсказывают цифры 6, 5, 4, 5 — значения величины a, а согласные четвёртой строки — цифры 6, 0, 1, 1, значения h.

Считаем нужным напомнить нашему читателю следующее. В данной работе выражение «Пасха по старому стилю» соответствует нашей православной пасхе (а до 1582 года повсеместно также и католической), и для неё мы получаем по формулам Гаусса — Доджсона действительно даты по старому стилю. Например, для Пасхи 2012 года эти формулы дают 2 апреля. По новому стилю православная Пасха 2012 года придётся, в результате разницы между двумя календарями, на 15-го апреля. Разумеется, выражение «Пасха по новому стилю» у Доджсона подразумевает отнюдь не эту, православную, Пасху в датах григорианского календаря, но католическую (лишь до 1582 года совместно с православной), исчисляемую по формулам Гаусса — Доджсона сразу в датах нового стиля. Для 2012 года расчёт даст 8 апреля.

Тут какая-то странность. Из книги Роуза Болла Кэрроллу должно было быть известно хотя бы о ещё одном исключении — это 1981 год, дата Пасхи в котором не вполне соответствует расчётам способом Гаусса — Доджсона. На деле исключений больше, но и они подчиняются особому правилу. Чтобы пояснить читателю, в чём тут дело, мы должны разобрать природу «нового стиля» в отношении католической Пасхи в данной работе.

В то время как старый, юлианский, и новый, григорианский, календари предназначены для установления движения по семи дням недели определённых дат, то есть дней, обозначаемых цифрами от 1 до 28 (29), до 30 и до 31, а потому являются солнечными календарями, пасхальное исчисление связано с установлением фаз Луны, а потому должно основываться на каком-либо виде лунного календаря. Папской буллой «Inter gravissimas» («Среди важнейших»; традиционно названа по первым словам первого предложения) и был в 1582 году закреплён для католиков новый лунный календарь — наряду с новым солнечным, известным нам как григорианский. Реформа имела особую цель в отношении первого и второго календарей. Обновлением солнечного календаря, как известно, весеннее равноденствие навечно привязывалось к 21 (20) марта на деле; ведь расчёт Пасхи по старому стилю тоже, только без всяких поправок, предполагает, будто весеннее равноденствие наступает 21 марта (ст. ст.), словно бы мы продолжаем жить в эпоху Никейского собора, длящуюся вневременно. (Почему же подобная календарная реформа оказалась для православной церкви неактуальной? Дело в том, что православный литургический календарь — это, строго говоря, совсем не юлианский солнечный и даже не лунный календарь, но счёт времени седмицами по Пасхе). Новый же лунный календарь призван был закрепить столь же неподвижно (в собственных календарных рамках) первое весеннее полнолуние. Таким образом, григорианская реформа, являющаяся на деле реформой пасхалии, а новый гражданский календарь имеющая как бы побочным продуктом, задала составную, лунно-солнечную природу выражения «Пасха по новому стилю».

Когда труды математиков увенчались успехом, эту реформу, то есть переход к пасхалии нового стиля, оказалось возможным осуществить на практике изящнейшим способом — через введение в юлианскую пасхалию четырёх поправок: двух солнечных, одной лунной и одной чисто математической. Две солнечные поправки общеизвестны: это изъятие, с ненарушенным порядком следования дней недели, десяти календарных дней в октябре 1582 года и солнечное уравнение (т. е. выравнивание календаря по солнцу уточнённой системой високосов, при которой за каждые 400 лет вставочный день троекратно опускается, см. Доджсоново указание в конце статьи «Найти день недели для любой заданной даты»); эти поправки и отличают собственно григорианский календарь от юлианского. Третья поправка, не нашедшая отражения в григорианском календаре из-за его солнечной природы, — это так называемое лунное уравнение (выравнивание по луне; им элиминируются 0,0613 суток, отличающих 19 юлианских лет от 235 синодических месяцев, чем устраняется отставание церковных новолуний от астрономических на сутки за 310 лет). В формулах Гаусса все эти три поправки заключены в величине m, отчего она и отличается от постоянного значения 15 для юлианского календаря, являясь расчётной.

Для того, чтобы разъяснить последнюю интересующую нас здесь поправку, коснёмся структуры реформированного лунного календаря. Реформаторы выстроили постоянный календарь девятнадцатилетнего цикла, когда месяцы, т. е. промежутки времени от одного новолуния до другого, получают, начиная от первого новолуния первого года цикла, поочередно по 30 и 29 дней (ведь на деле этот промежуток для нашего времени выражается в средних солнечных сутках дробным числом 29,5305882); в годы, содержащие 13 новолуний, после тринадцатого новолуния идёт месяц в 30 дней, последний месяц 19-го года имеет 29 дней, а февраль постоянно имеет 28 дней, и на один день увеличивается в високосных годах тот лунный месяц, на который приходится, в соответствии с системой високосов, вставное 25 февраля. Тогда через девятнадцать юлианских лет, или 253 месяцев, новолуния приходятся на те же числа (см., однако, выше замечание о лунной поправке); месяц, в котором наступает новый год, всегда содержит 30 дней и четвёртый месяц года тоже содержит 30 дней, если третье новолуние наступает до 21 марта. При этом вынуждены были сделать два исключения: если четвёртое новолуние приходится на 6 апреля (а полнолуние тогда, по церковным предписаниям наступающее через 13 суток, приходится на 19-е), то оно переносится на 5-е, а если ему случится быть 5-го (полнолуние 18-го), и при этом, в наших обозначениях, величина c + 1 (так называемое золотое число), больше 11, то оно переносится на 4-е.

Необходимость этих исключений математически видна из того, что величина d принимает недопустимо большое для такого календаря значение 29 (либо 28 при c > 10). Тогда указанным календарным произволом d понижают на единицу. Следовательно, когда V оказывается равной 19 апреля (21 + 29 марта, т. е. при d = 29) и 18 апреля (при d = 28 и c > 10), из d следует вычесть поправку

f = {(d + {c/11})/29},

в этих двух случаях равную 1, а в прочих, как и в юлианском календаре, 0.

С учётом этой поправки формулы Гаусса для расчёта католической Пасхи по григорианскому календарю принимают вид

P = 22 + (d – f) + e марта или P = (d – f) + e – 9 апреля,

где:

e = |(2a + 4b +6(d – f) + n)/7|.

Отсюда следует сложносоставной характер тех двух исключений, которые, как указывает Роуз Болл, должны учитываться при расчёте Пасхи по формулам без поправки. В самом деле, ошибка возникает не всякий раз, когда d равняется 29 (или 28 при с > 10), но и когда e одновременно равняется шести, ведь это означает, что пасхальное полнолуние пришлось на воскресенье, а по исправлении на единицу стало субботой, и между ним и рассчитанной по формулам без поправки Пасхой встало лишнее воскресенье. Отниманием этой шестёрки в последнем выражении мы и превращаем e в ноль, сдвигая Пасху на неделю раньше — с 26 апреля на 19-е для лет 1609, 1981, 2076 и 2133 и с 25 апреля на 18-е для лет 1954, 2049 и 2106; см. Климишин И. А. Указ.соч., с. 133.