Первая трудность теории множеств состоит в самой дефиниции понятия «множество», так как его очень сложно определить, не используя само понятие «множество» или один из его синонимов — объединение, группа и т. д.

Одно из наиболее удачных определений, в котором не используются синонимы слова «множество» (по крайней мере, явным образом), принадлежит Бертрану Расселу:

Это интересная точка зрения, так как в ней понятие множества определяется как результат мыслительной деятельности, и это означает, что речь идёт о фундаментальном понятии.

Как мы уже говорили, фундаментальным также является понятие подсчёта элементов множества. При счёте мы в действительности сравниваем элементы двух множеств. Например, если мы хотим узнать, сколько человек находится в помещении (то есть сколько элементов содержит множество людей, находящихся в помещении), мы берём за основу известное множество, образованное натуральными числами 1, 2, 3, …, и присваиваем каждому человеку в помещении порядковый номер без повторений. Закончив подсчёт, мы смотрим, какое число мы присвоили последним. Если это число равно, например, 23, мы говорим, что в помещении находится 23 человека. В действительности мы сравнили два множества — множество людей и множество чисел {1, 2, 3, …, 22, 23}, установив так называемое взаимно однозначное соответствие. Взаимно однозначное соответствие можно установить между множествами разной природы, важно лишь, чтобы при этом соблюдались определённые правила. Например, если даны множество заглавных букв {A, F, H, P, V} и множество строчных букв {a, b, c, d, e}, то между ними можно установить следующее отношение:

Каждому элементу первого множества должен соответствовать один и только один элемент второго множества, и наоборот. Это единственное правило, которому должны подчиняться биективные, то есть взаимно однозначные отображения.

На рисунке ниже мы также видим соответствия:

Однако они не удовлетворяют этому правилу.

Таким образом, Кантор определил простейшее понятие подсчёта, а также ввёл понятие кардинальности множества.

Если мы рассмотрим множества, между которыми можно установить биективное отображение, то увидим, что число элементов в этих множествах одинаково.

Но если одно множество состоит из четырёх элементов, а другое — из трёх, между ними нельзя установить биективное отображение: какой-либо элемент остаётся без пары или какому-либо элементу будет сопоставлено сразу несколько элементов.

Кантор определил эквивалентность множеств следующим образом: «Кардинальность двух множеств одинакова, если между ними можно установить биективное (взаимно однозначное) отображение». О множествах с одинаковой кардинальностью говорят, что они являются равномощными, то есть имеют одинаковое число элементов.

Таким образом, если дано произвольное множество, например коробка цветных карандашей, которое мы обозначим А, и можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством A и множеством N = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, то говорят, что кардинальность А и N одинакова:

|A| − |N| = 6.

Может показаться, что мы усложняем очевидное, но это впечатление обманчиво: новый логический аппарат позволил дать чёткое определение бесконечному множеству.

Для этого сначала определим, что такое конечное множество. Непустое множество А (иными словами, содержащее как минимум один элемент) является конечным, если для некоторого числа n множество А имеет ту же кардинальность, что и множество {1, 2, 3, …, n}. Следовательно, n будет числом элементов множества A. В противном случае говорят, что множество А бесконечное.

Аналогично: множество А бесконечно, если существует собственное подмножество В множества А, имеющее ту же кардинальность, что и само А. В противном случае множество А является конечным.

На последнем определении стоит остановиться подробнее ввиду его чрезвычайной важности. Во-первых, следует пояснить, что понимается под собственным подмножеством. Это очень просто: если дано произвольное множество А, например {a, b, с, d}, его собственным подмножеством будет любое подмножество, которое можно составить из элементов А, при этом нельзя использовать их все. Примерами собственных подмножеств А будут:

{а} {а, b} {а, b, с} {а, с, d} {d} {b, с, d}.

В соответствии с вышесказанным кажется логичным, что между множеством и его собственным подмножеством нельзя установить взаимно однозначное соответствие: собственное подмножество всегда будет содержать меньше элементов, чем само множество.

Но существуют примеры, когда это не так. Рассмотрим 

— множество всех натуральных чисел и его собственное подмножество Р, образованное всеми чётными числами. Очевидно, что между обоими множествами можно установить взаимно однозначное соответствие: для этого каждому натуральному числу n нужно поставить в соответствие это же число, умноженное на 2.

n → 2n

В соответствии с этим

1 → 2

2 → 4

3 → 6

…

Иными словами, каждому натуральному числу соответствует чётное число и, напротив, каждому чётному числу соответствует натуральное число. Это означает, что кардинальность этих множеств одинакова, и утверждение «существует столько же натуральных чисел, сколько чётных» вовсе не парадокс, хотя оно явно противоречит интуиции. Таким образом, альтернативное определение бесконечного множества звучит так: множество является бесконечным, если между этим множеством и какой-либо из его частей (каким-либо его собственным подмножеством) можно установить взаимно однозначное соответствие.

В этом случае парадокс, сформулированный Галилеем (см. главу 3), — это уже не парадокс, а констатация факта: множество натуральных чисел является бесконечным.

Путём аналогичных рассуждений можно доказать, что множество натуральных чисел

и множество целых чисел  имеют одинаковую кардинальность. Чтобы подтвердить это, достаточно установить взаимно однозначное соответствие между ними, сопоставив всем положительным числам чётные, а всем отрицательным — нечётные. Таким образом, существует столько же целых чисел, сколько натуральных.

Счётные множества

Кантор также сформулировал очень важное понятие счётного множества. По определению, множество А называется счётным, если можно установить взаимно однозначное соответствие между А и подмножеством

. В основе этого определения лежит очень простая идея, которую мы часто используем в повседневной жизни.