- Ты, наверное, хочешь от меня узнать что-то не только о мухах? - спросил Кэкэ, глядя вдаль.

- Да. Но я ничего не знаю и поэтому ничего не могу спросить.

- Ты намекаешь на то, чтобы я начал с начала, которого ты не знаешь, и закончил концом, которого ты не ждёшь? Хитёр бобёр, - Кэкэ закатил глаза вверх, как бы рассматривая облака. Пауза длилась недолго. Наконец, он махнул рукой. - Как гуманист, прощу на первый раз тебе эту наглость. Был бы ты магом, тебе несдобровать...

     Ты знаешь, что такое математическая теория? Ладно, я тебе напомню. Прежде всего, математическая теория включает в себя набор аксиом. Аксиомы - это недоказуемые истины теории. Мы просто считаем их верными либо в силу их очевидности, либо по соглашению. Потом в математическую теорию входит набор правил, с помощью которых из этих аксиом мы можем получать теоремы - новые истины теории. Обычно под набором правил понимают принятые математиками способы правильного мышления. Какие способы правильного мышления допустимы, а какие – нет, это вопрос философский, и здесь, как водится, у профессионалов нет  согласия. Причин к тому много, но итог таков: единого мнения о допустимых способах правильного мышления нет, а значит, нет и единой математики. Есть фрагментированная область математического знания. Ну, да бог с ней.

     Представление математического знания в виде аксиом и правил вывода позволяет доказывать новые теоремы, используя которые можно доказывать ещё теоремы; и так до бесконечности, получая всё новые и новые математические истины. Здесь, как обычно, тоже есть место для споров.  Одни говорят: раз все истины теории можно получить из аксиом с помощью правил вывода, стало быть, все теоремы теории уже содержатся  в аксиомах и лишь извлекаются из них с помощью правил вывода.  Другие же утверждают, что доказательством новых истин создается новая информация. Я держусь того мнения, что для Бога имеет место первая ситуация, а для человека – вторая. Что ты завис? Я непонятно объясняю? Хорошо, давай так.

     Возьмём геометрию Евклида. Аксиомы и правила вывода позволяют получать теоремы, которые описывают свойства пространства. Мы можем взять любую истину евклидовой геометрии и опытным путём проверить те соотношения, которые она описывает. Говорят, что у этой теории есть модель, в данном случае – окружающее нас пространство. Когда есть модель, в которой выполняются аксиомы теории, в ней  автоматически выполняются и все истины, известны они нам или нет. По существу, модель реализует теорию и все ее истины. Тот, кто сумел создать модель, сумел выполнить все истины теории  и одноактно представить их. Ты знаешь, кто у нас ведущий специалист по моделям? Не будем всуе упоминать его имя. Если же модели нет, то наш удел - кропотливо, шаг за шагом доказывать всё новые и новые теоремы теории, расширяя свои познания.

     Кэкэ наклонился, собрал несколько ягод брусники и закинул их себе в рот.

- Обожаю бруснику! Идеальная приправа к мясу, - удовлетворённо улыбнулся он, - О чём я там говорил? А-а-а! Понятное дело, аксиоматизация любой области знания позволяет представить её в необыкновенно компактном виде. Поэтому элегантность, завершённость и практичность этого подхода сделали его эталоном научной строгости. По этой же причине аксиоматизация различных знаний о нашем мире стала важнейшей задачей науки. Когда я говорю об аксиоматизации некоторых знаний о мире, я смотрю на эту часть мира как на модель некоторой математической теории и пытаюсь сформулировать аксиомы этой теории. Понятно?

- Подожди, Кэкэ, - прервал его Дорожная Пыль. - А с чего это ты вообще решил, что в основе мира должны лежать аксиомы?

- Ну, маги это видят непосредственно. Но можно дать и логическое объяснение.

     Скажем, математическая физика - хороший пример попытки аксиоматизации знаний о мире. Или вот ещё, - с этими словами Кэкэ встал, несколько раз присел и снова уселся на ствол поваленной сосны, - вот ещё так можно смотреть. Берём известные нам законы, составляющие нашу модель мира, добавляем к ним аксиомы математики, с помощью которых выражаются эти законы, и получаем промежуточную на данный момент аксиоматику мира. Конечно, хреновую: место истинных аксиом занимают познанные нами следствия; но уж какая-никакая. Мы можем только двигаться к истинной аксиоматике мира, уточняя известные законы и переходя к более общим.  Разумеется, если бы мы знали истинные аксиомы мира  и имели  инструмент, который по ним мог  создавать модели, то мы могли б создавать миры, подобно Самому…, - и Кэкэ закатил глаза вверх, показывая туда же большим пальцем. - Но вот теперь пришло время задать себе такой вопрос: насколько произвольно можно выбирать аксиомы из уже, допустим, известного списка, чтобы при наличии необходимого аппарата получать реальные модели мира? Здесь есть несколько важных моментов.

     Во-первых, желательно, чтобы аксиомы были независимы. Другими словами, ни одна из выбранных аксиом не должна быть лишней, без которой можно обойтись: этим минимизируется их необходимое число. Хотя, когда они зависимы, ничего страшного тоже не произойдёт.

     Во-вторых, аксиомы должны быть непротиворечивы. Это значит, что из выбранных аксиом нельзя вывести некоторую истину и одновременно её отрицание. Понятно, что у противоречивой системы аксиом модели быть не может, так как  реальная модель не может быть такой и не такой одновременно. Известно, например, что математическая логика имеет непротиворечивый набор аксиом.

     Наконец, необходимо знать, полна или не полна система аксиом. В полной системе аксиом для любого правильно построенного утверждения можно получить доказательство либо его истинности, либо его ложности. То есть, в отношении любого факта теории можно установить, истинен ли он. Например, математическая логика имеет полную систему аксиом. В неполной системе существуют такие факты теории, в отношении которых нельзя установить их истинность или ложность. Это означает, что к исходным аксиомам можно добавить  такое недоказуемое утверждение или его отрицание и получить две разные теории: у одной  присутствует указанное утверждение, а у другой – его отрицание. Если теперь перейти к модели теории с неполной системой аксиом, то при наличии такого недоказуемого утверждения уже приходится иметь две модели, соответствующие двум новым теориям. Вот и получается, что неполные теории как бы расщепляются на множество теорий и соответственно требуют множество моделей. Ну, что я тебя ещё не утомил? - поинтересовался Кэкэ. - Эти начальные вещи ты должен хорошо понять, чтобы не мучить меня потом лишними вопросами.

     Он встал, постоял в задумчивости, потом снова сел, и снова встал. Было видно, что он хочет что-то сказать, но не знает как. Наконец, он сел, подышал на стёкла очков и протёр их вынутым из кармана платком.

- Тут такое дело... Не знаю, стоит ли тебе сейчас говорить об этом...

- Говори, конечно. Я же ради этого и пришёл к тебе.

Кэкэ внимательно посмотрел на Дорожную Пыль, как бы оценивая на глазок его возможности.

- Как бы тебе сказать... Я, видишь ли, по молодости не очень доверял тому, что скажу тебе сейчас. Во-первых, хочу сказать о непротиворечивости. Курт Гёдель показал, что непротиворечивость арифметики нельзя доказать средствами самой арифметики. Но арифметика реализуется в окружающем нас мире и не только в нашем. Значит, она непротиворечива. Это понимают все, хотя доказательства мы пока не знаем. Итак, получается, что оно обязательно есть, хотя и неизвестно нам.