Из всех математических открытий Ньютона, вне всяких сомнений, открытие анализа бесконечно малых было наиболее важно и имело наиболее значимые последствия.

Первые идеи о математическом анализе появились у Ньютона в наиболее знаменательный период его жизни — в 1665—1666 годы. В рукописи, написанной им за несколько лет до смерти в 1727 году, мы читаем: «В начале 1665 года я открыл метод приближенного вычисления с помощью рядов, а также правило, по которому можно свести бином любой степени к такому ряду. В мае того же года я открыл метод построения касательных Грегори и де Слюза, а в ноябре получил метод флюксий. В январе следующего года я развил теорию цветов, в мае начал работать над обратным методом флюксий. В том же году я начал размышлять о тяготении применительно к орбите Луны и на основе законов Кеплера определил силы, которые удерживают планеты на орбитах».

Его первая работа по математическому анализу «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» (De analysi per aequationes numero terminorum infinitas) была завершена в 1669 году, но опубликована только в 1711-м.

Эту книгу Ньютон написал в конце июня 1669 года (точные даты неизвестны) всего за несколько дней, взяв за основу результаты собственных исследований, проведенных в 1664 году. Ньютон использовал разложение логарифмической функции в степенной ряд, описанное Николасом Меркатором в книге Logarithmotechnia. Он также руководствовался слухами и предположениями о том, какими исследованиями в то время занимались другие ученые.

«Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» имел огромную ценность. После публикации этой работы, несмотря на ее небольшой объем, Ньютон был признан создателем анализа бесконечно малых, а его труд — основополагающим в этом новом разделе математики. В первой части книги Ньютон показывает, как с помощью степенного ряда можно произвести расчет квадратуры для множества функций, используя в качестве основы базовую квадратуру

Рассуждения Ньютона стоит изложить подробнее. Для простоты мы приведем частный случай, описанный самим Ньютоном, для площади, ограниченной кривой, которая задается следующей формулой:

Ньютон действовал так.

Увеличим на бесконечно малую величину, которую обозначим за о (это обозначение использовал сам Ньютон) абсциссу х. Площадь увеличится на площадь прямоугольника с вершинами x, y(x), y(x + o) и x + o, как показано на иллюстрации. Возьмем прямоугольник со сторонами o и v такой, что его площадь будет равна упомянутому приращению площади. Получим:

Возведя обе части в квадрат и упростив равенство, получим:

Разделив обе части на о, получим:

Если теперь мы примем прирост х бесконечно малым, то есть приравняем o к нулю, то v = y, и предыдущая формула примет вид

Отсюда следует, что площадь, ограниченная кривой у = х², равна ²/₃ ∙ ³/₂ x. Может показаться, что Ньютон пытался вычислить площадь, ограниченную кривыми определенного типа, но в действительности полученный им результат намного важнее. В первой части «Анализа» Ньютон хотел изложить общий алгоритм и подчеркнуть, что он применим не только в задачах расчета площади, «Все задачи о длине кривых, о величинах и о поверхностях тел и о центрах тяжести могут быть сведены в конце концов к определению плоской поверхности, ограниченной кривой», — делает он крайне важное замечание, за которым следует раздел под названием «Приложение вышеизложенного к другим примерам того же рода». Это замечание отделяет первую часть работы, в которой изложен общий метод, от второй, в которой излагаются различные способы его применения. Можно сказать, что результат его работы несколько неопределен: Ньютон видел огромную ценность найденного им абстрактного метода, однако, возможно, на начальном этапе, когда идея еще не оформилась окончательно, ему было сложно выразить ее доступно. Скорее всего, на этом этапе ему попросту не хватало терминов и обозначений. Он сосредоточил основное внимание на абстрактной задаче определения функции по известной производной. Кроме того, он рассматривает и обратную задачу о вычислении изменения функции (об этом рассказывается в конце книги). Наконец, он приводит краткий алгоритм расчета этого изменения (производной). Четкие правила вычисления производной позднее опубликовал Лейбниц, но не будем забывать, что в «Анализе» Ньютон изложил не все результаты, полученные им в области математического анализа к 1669 году.

Всё вышеизложенное позволяет заявить, что выход «Анализа» ознаменовал появление анализа бесконечно малых. «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» — великолепный пример, позволяющий оценить акт творения в математике во всем его великолепии: при прочтении книги Ньютона мы становимся свидетелями процесса возникновения анализа бесконечно малых. Так, если мы углубимся в чтение «Анализа» и попытаемся увидеть уже известные нам термины и понятия современного математического анализа, это можно будет сравнить с просмотром детских фотографий человека, с которым мы познакомились уже в зрелом возрасте: сквозь еще не оформившиеся, детские черты уже проступает облик знакомого нам взрослого человека.

Закончив рукопись «Анализа», который принес автору известность среди британских математиков, Ньютон показал свой труд Барроу. Тот предложил незамедлительно отправить работу Джону Коллинзу, члену Лондонского королевского общества, который занимался обработкой почты, распространением результатов и новостей подобно Марену Мерсенну. Ньютона охватил нездоровый страх, который будет сопровождать его перед публикацией всех его трудов: обнародовать труд означало подставить его под удары критиков. Здесь следует отметить, чтобы отчасти прояснить причины полемики Ньютона и Лейбница, что в те годы понятие «публикация» имело несколько иной смысл, нежели в наши дни. Сегодня это означает публикацию в научных журналах или в виде книги, доступной всем желающим. В то время, когда книги и особенно журналы еще не набрали такую популярность, как всего несколько десятилетий спустя, публикация означала представление рукописи группе близких друзей, а также тем, кто занимался распространением научных трудов, как, например, Джон Коллинз или в особенности Марен Мерсенн.

Чтобы продемонстрировать опасения Ньютона, далее мы подробно расскажем о письмах, которые Барроу отправил Коллинзу. Сначала, 20 июля 1669 года Ньютон разрешил Барроу всего лишь уведомить Коллинза, что у него находится рукопись «Анализа», запретив упоминать имя автора и название работы: «Один мой друг, обладающий блестящими способностями, отправил мне позавчера несколько писем, в которых описывает метод вычисления размерностей величин, подобный методу Меркатора, но намного более общий применительно к решению уравнений. Я отправлю вам рукопись с одним из ближайших писем и верю, что она доставит вам удовольствие».

Одиннадцать дней спустя Ньютон разрешил Барроу отправить Коллинзу копию «Анализа» при условии, что имя автора будет сохранено в тайне, а рукопись будет возвращена. Обратите внимание, как деликатно Барроу указывает, что Коллинз может ознакомиться с рукописью, но делать копию не следует, иными словами, рукопись предназначена только для Коллинза: «Отправляю вам обещанные письма моего друга, которые, как я надеюсь, доставят вам немалое удовольствие. Я прошу, чтобы вы вернули мне письма, когда сочтете нужным, после того как прочитаете их. Мой друг согласился передать мне письма только на этих условиях, когда я впервые спросил его разрешения отправить их вам. Поэтому прошу вас как можно скорее дать мне знать, что вы получили их, чтобы избавить меня от беспокойства. Чтобы вы могли как можно раньше ознакомиться с ними, я ни минуты не думал о том, чтобы послать их вам обычной почтой».