«Если бы нам были в точности известны законы природы и положение тел во Вселенной в начальный момент времени, мы могли бы в точности предсказать состояние Вселенной в последующие моменты времени. Однако даже если законы природы перестанут быть для нас тайной, мы сможем определить начальное положение лишь приближенно. Если это позволит предсказать последующее положение тел с той же степенью приближения (а это все, что нам необходимо), то будем говорить, что рассматриваемое явление было предсказано и подчиняется законам. Но так происходит не всегда: может случиться, что небольшие отклонения в начальных условиях вызовут значительные отклонения в итоговых результатах. Небольшая ошибка, допущенная вначале, станет причиной огромной ошибки в конце. И составление прогнозов оказывается невозможным».
За несколько месяцев до смерти в 1911 году, по возвращении с Сольвеевского конгресса, где Пуанкаре познакомился с квантовой теорией Макса Планка (которая вкупе с теорией хаоса нанесла болезненный удар по научному детерминизму), Пуанкаре высказал свои опасения:
«Кажется излишним указывать, насколько эти идеи отличаются от традиционных; физические явления больше не будут подчиняться законам, выражаемым в виде дифференциальных уравнений, и это, несомненно, станет крупнейшей и самой радикальной революцией в натуральной философии со времен Ньютона».
Задавшись вопросом, подходят ли дифференциальные уравнения для математической формулировки физических законов, гениальный Пуанкаре, как любой истинный математик, сомневался в корректности детерминизма.
Ньютон, можно сказать, облачил закон причинно-следственной связи в математические одежды: законы Ньютона были записаны в виде дифференциальных уравнений. Развитие целого ряда методов математического анализа существенно расширило возможности прогнозирования с помощью классической механики. Но теперь Пуанкаре показал, что некоторые механические системы могут демонстрировать столь сложное поведение, что предсказать его невозможно. Из этого следовала не только ограниченная возможность науки предсказывать явления — квантовая физика ставила под сомнение сами дифференциальные уравнения. С наступлением XX века обе революции (вызванные появлением теории хаоса и квантовой механики) совершили окончательный переворот в науке.
* * *
ДЖЕЙМС КЛЕРК МАКСВЕЛЛ. МЕЖДУ ХАОСОМ И ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМОМ
Проанализировав результаты наблюдений, проведенных французскими инженерами Сен-Венаном и Буссинеском, 11 февраля 1873 года знаменитый физик шотландского происхождения Джеймс Клерк Максвелл (1831–1879) организовал в Кембридже конференцию, посвященную детерминизму. На ней Максвелл продемонстрировал, насколько хорошо он знаком с эффектом, который сегодня называется «эффектом бабочки» или «чувствительностью к начальным условиям» и представляет собой своеобразный отпечаток хаоса:
«На некоторые из этих вопросов можно пролить немало света, рассмотрев устойчивость и неустойчивость. Когда положение вещей таково, что бесконечно малое отклонение от текущего состояния вызывает лишь бесконечно малое отклонение в будущем, то говорят, что состояние системы, находящейся в покое или в движении, стабильно. Однако если бесконечно малое отклонение от текущего состояния может вызвать конечное отклонение за конечное время, то говорят, что состояние системы нестабильно. Очевидно, что существование нестабильных состояний делает невозможным предсказание будущих событий, если наши знания о нынешнем состоянии приближенны и неточны. Следовательно, если физики, стремясь познать тайны науки, придут к изучению сингулярностей и неустойчивости, в отличие от непрерывности и устойчивости, то распространение знания станет возможным только при отказе от идеи всеобщего детерминизма, которая, по-видимому, происходит из предположения, согласно которому физика будущего будет подобна всего лишь увеличенному изображению физики прошлого».
* * *
Сегодня, сто лет спустя, кажется удивительным, насколько Пуанкаре опередил современников. Никогда математическая ошибка не оказывалась столь плодотворной, поэтому часто считают, что именно она в какой-то мере дала начало теории хаоса. Если Пуанкаре заложил фундамент теории хаоса, то Смэйл и Лоренц позднее воздвигли на нем целое здание, став, наряду с другими учеными, отцами-основателями этой теории. Но не будем забегать вперед.
Глава 2. Повторное открытие хаоса
— Вы — не обычный случай.
— Нет?
— Нет.
— Тогда что же я?
— Предмет изучения.
— Я буду предметом изучения;
но никто не хочет изучать меня.
Пио Бароха, «Древо познания».
Никому еще не удавалось познать что-то новое мгновенно. Если нам и кажется, что мы познали какое-то явление моментально, это означает, что на самом деле оно было рядом с нами долгое время. Так, хаос сопровождал нас почти тайно, не выходя на свет, поскольку ни один ученый не хотел столкнуться с ним лицом к лицу. Один американский физик прекрасно объяснил, почему путь к хаосу, открытый Пуанкаре, был практически заброшен на целых полвека, с начала до середины XX столетия, и впоследствии этот путь пришлось прокладывать заново.
Физик и математик Дойн Фармер, известный в США тем, что регулярно выигрывал в рулетку в Лас-Вегасе, применяя нелинейные дифференциальные уравнения, рассказывал о том, как он изучал математику:
«Слово «нелинейный» можно было встретить лишь в конце учебника. Студенты-физики проходили курс математики, и нелинейным уравнениям посвящалась последняя лекция. Многие пропускали эту тему, а остальные узнавали только методы, позволяющие сводить нелинейные уравнения к линейным и находить их приближенные решения. Мы теряли веру в свои силы: у нас не было ни малейшего представления о том, как сильно нелинейность изменяет модель. Мы не знали, что решения нелинейных уравнений могут казаться совершенно случайными. И если мы наблюдали нечто похожее, то задавались вопросом: "Откуда взялось это случайное движение? В уравнениях его не видно"».
Помимо Пуанкаре и новых исследователей теории хаоса, были и другие математики и физики, которые в те времена (мы говорим о последних годах XIX — начале XX века) изучали труды французского математика о задаче трех тел скорее в порядке исключения. Эти исследователи хаоса услышали призыв Пуанкаре заняться решением нелинейных задач и совершили ряд открытий в смежных областях.
Одним из этих ученых был Жак Адамар. Хотя различные примеры хаотических систем были известны давно, он в 1898 году первым математически доказал, что в некоторых динамических системах небольшое изменение начальных условий вызывает значительные изменения в последующем развитии системы (мы называем это явление эффектом бабочки). Французский математик изучил особую разновидность бильярда, в которой стол имел форму седловой поверхности, а траектории шаров были крайне неустойчивыми: два шара, расположенные рядом, после удара, приводившего их в движение, удалялись очень далеко друг от друга (по экспоненциальному закону). Адамар доказал, что для этой и аналогичных систем справедлива теорема о чувствительности к начальным условиям.
* * *
ВИВА, ЛАС ВЕГАС!
Два студента-физика, Дойн Фармер и Норман Паккард, в конце 1970-х основали небольшую группу под названием «Эвдемонисты». Их целью было найти способ выиграть в рулетку и направить вырученные средства на поддержку научного сообщества. Изучив купленную рулетку, члены группы сформулировали уравнение, включавшее период вращения рулетки и период вращения шарика на ней. Так как решить полученное уравнение было крайне сложно, студенты решили сконструировать микрокомпьютер, который бы предсказывал, в какой из восьми секторов упадет шарик. Компьютер помещался в каблуке туфли. Информация о том, на какой сектор следует ставить, передавалась с помощью сигнала от трех вибрирующих соленоидов, закрепленных на груди, под одеждой.
В 1978 году группа отправилась в Лас-Вегас, намереваясь обыграть казино. Наблюдатель вводил данные в компьютер, а девушка, которая делала ставку, получала указания от соленоидов, спрятанных под юбкой. Средний выигрыш составил 44 % от общей суммы ставок. Однако не обошлось без неожиданностей. Как-то раз изоляция повредилась, девушка получила сильные ожоги, но стоически продолжала игру. В итоге общий выигрыш группы составил почти 10000 долларов. Заветная цель была достигнута: с помощью методов статистики ученым удалось предсказать, в какую часть колеса рулетки будет падать шарик.
Но будьте внимательны: найденный алгоритм совсем не прост, и его нельзя применить к любой рулетке. В идеальных условиях, когда шарик представляет собой идеальную сферу, а колесо рулетки — идеальную окружность, предсказать результат было бы невозможно. «Эвдемонисты» смогли спрогнозировать, в какую часть колеса рулетки упадет шарик, только потому, что они внимательно изучили дефекты конкретной рулетки. Достоверность прогноза в краткосрочном периоде достигалась за счет несовершенства самой рулетки и шарика.