Но, к сожалению, бОльшая часть систем постулатов, используемых в качестве основы существенно важных разделов математики, не может быть интерпретирована с помощью конечных моделей. Поэтому мы явно заходим в тупик. Конечные модели в принципе достаточны для установления совместимости некоторых систем постулатов; но эти системы имеют для математики второстепенное значение. Бесконечные же модели, необходимые для интерпретации большей части важных для математики систем постулатов, мы умеем описывать лишь в самых общих словах и не можем дать никакой твердой гарантии, что такие описания сами свободны от скрытых противоречий.

Конечно, хотелось бы быть уверенными в непротиворечивости формулировок, описывающих бесконечные модели, но таких, что все используемые ими основные понятия представляются совершенно «ясными» и «отчетливыми». Но история науки не может похвастаться тем, что ей везло на доктрины, оперирующие исключительно ясными и отчетливыми идеями и покоящиеся на твердой интуитивной основе, а именно на них и приходится делать весь расчет. В некоторых областях математики, для которых существенную роль играют различные допущения о бесконечных совокупностях, были обнаружены весьма серьезные противоречия, и это несмотря на интуитивную ясность понятий, используемых при этом, и кажущуюся корректность применяемых в данных теориях умственных конструкций. Такие противоречия (именуемые обычно «антиномиями») были обнаружены, в частности, в построенной Георгом Кантором в конце XIX в. теории бесконечных множеств; противоречия эти показали, что кажущаяся ясность даже такого элементарного понятия, как понятие множества (класса, совокупности), не может обеспечить непротиворечивости ни одной конкретной системы, в которой используется такое понятие. Поскольку же математическая теория множеств, в которой рассматриваются свойства совокупностей элементов, часто провозглашается основой для остальных разделов математики (в частности, элементарной арифметики), естественно спросить, не проникают ли противоречия, подобные тем, что были обнаружены в формулировке теории бесконечных множеств, и в другие математические дисциплины.

И в подтверждение такого подозрения Бертран Рассел построил противоречие, оставаясь исключительно в рамках элементарной логики, — противоречие, в точности подобное тому, что было обнаружено первоначально в канторовской теории бесконечных классов (множеств). Антиномию Рассела можно описать следующим образом. Будем различать классы в зависимости от того, являются ли они своими собственными элементами или нет. Назовем класс «нормальным» в том и только в том случае, когда он не содержит самого себя в качестве элемента; в противном же случае будем называть класс «ненормальным». Примером нормального класса может служить класс всех математиков — ведь сам такой класс не является, очевидно, математиком и не является потому своим собственным элементом. Примером ненормального класса является класс всех мыслимых вещей; сам этот класс является, очевидно, «мыслимой вещью», а тем самым — и своим собственным элементом.

Определим теперь класс N — класс всех нормальных классов. Является ли N нормальным классом? Если N нормален, то он является своим собственным элементом (ведь, по определению, N содержит все нормальные классы). Но в таком случае N ненормален, так как в силу данного выше определения класс, содержащий самого себя в качестве элемента, является ненормальным. С другой стороны, если N — ненормальный класс, то он (в силу определения понятия ненормальности) является своим собственным элементом; но в таком случае N нормален, так как выше определено, что элементами N являются лишь нормальные классы. Короче говоря, N нормален тогда и только тогда, когда N ненормален. Отсюда следует, что утверждение «N — нормальный класс» является в одно и то же время истинным и ложным. Это противоречие неминуемо следует из некритического, безоговорочного употребления представляющегося столь ясным понятия класса (множества). Впоследствии были обнаружены и другие парадоксы, причем каждый из них строился с помощью хорошо известных и вроде бы бесспорных приемов рассуждения. Математикам пришлось прийти к выводу, что при построении претендующих на непротиворечивость систем общеизвестность и интуитивная ясность идей являются далеко не надежной основой.

Мы убедились в важности проблемы непротиворечивости (совместимости) и ознакомились с классическим, «стандартным», методом ее решения с помощью моделей. Мы видели, что проблема эта обычно требует использования бесконечных моделей, описание которых, однако, само чревато внутренними противоречиями. Нам придется согласиться поэтому, что метод моделей имеет ограниченную ценность в качестве орудия решения проблемы и недостаточен для получения окончательного ответа на нее.

Принципиальные ограничения, препятствующие использованию моделей для установления непротиворечивости и перерастающие в уверенность подозрения, что многие математические системы чреваты внутренними противоречиями, привели к тому, что были предприняты совершенно новые попытки решения проблемы непротиворечивости. Альтернативный — по отношению к упоминавшимся до сих пор доказательствам относительной непротиворечивости— подход был указан Гильбертом. Его целью было построение «абсолютных» доказательств непротиворечивости различных систем — доказательств, не исходящих из предположений о непротиворечивости какой-либо другой системы. Чтобы понять сущность открытия Гёделя, нам понадобится разобраться в общих чертах в гильбертовском подходе к проблеме.

Первым шагом построения абсолютного доказательства непротиворечивости, согласно такому подходу, должна явиться полная формализация исследуемой дедуктивной системы, состоящей, грубо говоря, в том, что все входящие в данную, систему выражения рассматриваются как лишенные какого бы то ни было значения — просто как некоторые сочетания символов. Способы соединения символов и обращения с составленными из них выражениями четко предусмотрены специальными правилами. В результате мы получаем систему символов (называемую «исчислением»), содержащую все те и только те символы, на которые мы явным и недвусмысленным образом указали. Постулаты и теоремы полностью формализованной системы — просто «строчки» (т. е. конечные последовательности) ничего не означающих значков, достроенные из элементарных символов согласно правилам данной системы. В такой полностью формализованной системе вывод теорем из постулатов — не что иное, как преобразование (согласно правилам системы) одной совокупности «строчек» в другую. Поступая таким образом, мы избегаем опасности, связанной с неявным использованием каких-либо сомнительных методов рассуждения.

Формализация — дело довольно-таки трудное и требующее немалой изобретательности; но она хорошо служит намеченной задаче. Формализация позволяет ясно видеть структуру системы и назначение отдельных ее элементов аналогично тому, как структура и работа отдельных узлов какой-нибудь машины легче уясняются на модели такой машины, чем при рассмотрении самой машины. Логические соотношения между отдельными предложениями становятся после формализации хорошо обозримыми; мы видим в ней структурные соотношения между различными «строчками» и «бессмысленными» символами, уясняем, каким образом они связаны друг с другом, правила их комбинации и взаимного следования и т. п.

До сих пор мы говорили, что «бессмысленные» значки такой формализованной математики ничего не утверждают— это пока просто некая абстрактная картинка, иллюстрирующая строение интересующей нас системы. Но, конечно, строение такой картинки — а тем самым и иллюстрируемой ею системы — мы можем описывать на обычном человеческом языке, делая определенные высказывания, относящиеся к ее общей конфигурации и соотношениям отдельных ее элементов.