Палиндромные числа сохраняют свое значение, с какой стороны их ни читай. Простейший случай, вероятно, представляет собой число 11. Год 1881 обратим. Ближайшая обратимая дата - 1991 год. Пусть он будет годом палиндромов для тех, кто увлекается проблемами отражения.

Подчас встречаются числа-палиндромы с весьма необычными свойствами. Например, мастера показывать числовые фокусы исходят из числа 999 999, то есть миллион минус единица. Если разделить его на 7, то получится

999999:7 = 142857,

число, по виду ничем не примечательное. Его особые свойства раскрываются только при умножении:

142 857 • 2 = 285714,

142 857 • 3 = 428571,

142 857 • 4 = 571428,

142 857 • 5 = 714285,

142 857 • 6 = 857142.

Все произведения состоят из тех же шести цифр. Если в любом из этих чисел начать с 1, то дальше всегда следует 4, потом 2 и т. д. Нужно только после конечной цифры числа вернуться к его началу и продолжать читать с первой цифры. Последовательность цифр постоянна: 142 857. Любители подобных фокусов могут, конечно, развить этот ряд чисел далее. При желании можно прибавлять соответствующие числа, всегда получая при этом одну и ту же последовательность цифр, пока в конце концов снова не появится зеркальное число - 999 999.

Другая шуточная задача с палиндромами явствует из следующих рядов:

123 456 789 • 1 • 9 = 111111111,

123 456 789 • 1 • 9 = 222222222

и т. д. вплоть до

123 456 789 • 9 • 9 = 999999999.

Исследован также вопрос о том, существует ли взаимосвязь между простыми числами и палиндромами. Канадец Н. Гриджмен установил, что простые числа с нечетным числом цифр образуют определенные группы. Вот некоторые из них:

181 373 12721,

191 383 12821.

Однако в математике морднилап, кажется, еще менее необходим, чем в языке. В то же время математика не раз вдохновляла иные поэтически настроенные души на литературные излияния. Так, один английский статистик (!) по фамилии Юден создал около века назад хвалебный гимн кривой Гаусса. Он писал (в форме такого рода кривой): «Закон нормального распределения ошибок выступает в опыте человечества как одно из самых широких обобщений натуральной философии. Он служит ведущим инструментом исследования как в физике и социальных науках, так и в медицине, сельском хозяйстве или технике. Он является незаменимым орудием для анализа и обработки данных, полученных из наблюдения и эксперимента».

Математик Карл Фридрих Гаусс, о котором мы уже упоминали, когда говорили об измерении больших треугольников, разработал форму кривой, столь воодушевившую Юдена. Если выполнить большое число измерений какого-либо отрезка - длиной, скажем, в 1 м, - то лишь очень немногие из измерений окажутся равными в точности 1,00 м. Многие измерения дадут значения 0,981 или 1,01 м. Если теперь нанести на диаграмму частоту появления каждого значения измеренной величины, то в идеальном случае получится кривая Гаусса. Подобные кривые можно получить, скажем, при измерении бобов или горошин.

В старину симметрию в формировании книг соблюдали даже в ущерб правописанию

Пока кривая нормального распределения выглядит симметрично, речь идет о случайных отклонениях. Но всякое значительное отступление от симметрии свидетельствует о необходимости установить его причину. В простейшем случае неточным может оказаться измерительный инструмент. Хуже, когда не внушает доверия лаборант, производящий измерения. Однако причина может также заключаться в том, что в число горошин попали (случайно или намеренно) представители иного сорта, которые подчиняются распределению с другими параметрами.

Подобные сведения - и не только подобные - может почерпнуть статистик из нормального распределения. Всем нам есть чему поучиться у Гаусса. Как известно, при планировании и подведении итогов мы часто оперируем средними значениями. Средний годовой доход граждан составляет столько-то. Средний размер обуви мужской части населения такой-то. Среднее потребление пива такое-то и т. д. Однако такое среднее значение еще далеко не отражает истинного положения. Людям с особенно маленькими или особенно большими ногами известна даже песенка на эту тему. А что касается пива, то грудные младенцы, хотя и являются гражданами страны, его не потребляют. Получается, что отцы должны пить за двоих, троих, а то и четверых, чтобы поддержать средний уровень на душу населения. Поэтому Юден с полным правом написал, что нормальное распределение «является незаменимым орудием для анализа и обработки данных». К непроанализированным средним значениям следует питать глубокое недоверие.

Давайте прикинем, какими средствами в среднем располагают американские миллионер и нищий. Ну, в простейшем случае миллионер обладает как минимум 1 млн. долларов, а нищий - О долларов. Легко вычислить среднее значение:

В старину симметрию в оформлении книг соблюдали даже в ущерб правописанию.

1 000 000 + 0/2 = 500000 долл.

Следовательно, средний американец должен был бы иметь 500 тыс. долларов. В чем тут ошибка?

Расчеты средних величин годятся лишь для больших чисел! Значит, 1000 миллионеров и 1000 нищих? Но и в этом случае вычисление не даст правильного результата:

1 000 000 - 1000 + 0 • 1000/2000 = 500000 долл.

Действительная ошибка заключается в том, что нищие и миллионеры располагаются на противоположных концах кривой распределения имущественного состояния народа. Между ними находятся 150 млн. человек, владеющих 10, 100 или 1000 долларами. И средняя величина или среднее значение лишь в том случае приобретает смысл, когда кривая нормального распределения учитывает все имущественные состояния. Не подлежит сомнению, что наблюдения над распределением состояний всех граждан США покажут, что такое распределение не является нормальным. Тут-то именно следует приняться за математический, экономический и политический анализ.

ЛОГИЧЕСКИЕ ОШИБКИ С СИММЕТРИЙНОЙ ПОДОПЛЕКОЙ

< border="1"> Три одинаковых куска картона Стороны А В С Верхняя сторона красный красный белый Нижняя сторона красный белый белый

Решая математические задачи, имеющие (действительное или кажущееся) «симметрическое решение», мы быстро приходим к ответу. Примером такого рода задач может служить равномерное распределение разности между двумя величинами (то есть к каждой величине требуется прибавить половину этой разности).

Возьмем три одинаковых куска картона А, В и С. Закрасим А с двух сторон в красный цвет, С - в белый и В - с одной стороны в красный, а с другой в белый:

Теперь бросим все три картонки в мешок и вытащим одну из них. Не глядя на ее обратную сторону, положим картонку на стол. Допустим, перед нами красная поверхность. Так как один из кусков, С, выкрашен с обеих сторон в белый цвет, то мы видим либо кусок А (красный - красный), либо кусок В (белый- красный) красной стороной кверху.

И только тут возникает сама задача: как велика вероятность того, что, подняв лежащую перед вами картонку, вы увидите красную обратную сторону? Иными словами, какова вероятность того, что это картонка А₁ Вам, конечно, нет надобности долго раздумывать: раз речь идет о двух кусках картона, из которых один А, а другой не А, то решением (симметрическим) будет, разумеется, 1:1, или 50% к 50%. Но, к сожалению, наше «разумеется» ошибочно. Две картонки, между которыми надлежит сделать выбор, имеют следующие красные стороны:

картонка А - верхнюю,

картонка А -нижнюю,

картонка В - верхнюю (снизу она белая).

Одна из сторон обращена кверху с вероятностью 33,3%. Для картонки А эта вероятность, однако, удваивается (верхняя и нижняя стороны), а для картонки В - нет. Следовательно, с вероятностью 66,6% на столе лежит кусок А. Как видим, на основе этого рассуждения можно заключить выигрышное пари: ответ 1:1 столь импонирует большинству людей, что мысль о возможности другого решения им даже не приходит в голову.