В состав r входят суммы, величины которых определяются иерархически разными властными субъектами: директоратами фирм и органами государственной масти. И одно с другим должно быть согласовано, в противном случае будет кризис неплатежей и производные от него развал хозяйственных связей, спад производства, банкротства и т.д. вплоть до государственного переворота. Проще говоря из уравнения (E -A^T)P = r, называемого уравнением равновесных цен, следует, что: 1) налоговое законодательство недопустимо писать без предшествующего анализа межотраслевых балансов; 2) его необходимо регулярно изменять в зависимости от динамики производительности труда а различных отраслях. В противном случае производиться будет то, что финансово выгодно, а не то, что общественно необходимо, но не может быть оплачено при сложившемся законе стоимости. Одно с другим далеко не всегда совпадает, и задача как раз и состоит в том, чтобы настраивать налоговое законодательство и политику зарплаты таким образом, чтобы выгодно было производить то, что общественно полезно, а не то, что ведет к социальной катастрофе, хотя это и финансово выгодно в данный момент.

С точки зрения частника-производителя вектор r - вектор долей «добавленной стоимости»; но при рассмотрении макроэкономической системы это - вектор управления платежеспособным спросом, субъективно формирующий «закон стоимости», в котором многие видят идола объективной экономической данности. Но о том, как эта «объективная данность» деформируется под субъективным произволом авторов налогового законодательства и под произволом корпорации банкиров, также имеющих свою долю в векторе r - об этом экономическая наука умалчивает. Но тем не менее и при умолчании налоговая и кредитная политика есть управление макроэкономической системой, даже если это умолчание - следствие слепоты, а не вероломство, вводящее в заблуждение с целью сокрытия ИСТИННЫХ УПРАВЛЕНЦЕВ. Поэтому, чтобы поставить все на свои места, вектору г следует приписать аббревиатурный мнемонический индекс «ЗСТ», проистекающий от слов «закон стоимости»: r_ЗСТ. С учетом сказанного задача организации саморегуляции макроэкономической системы обретает смысл формирования закона стоимости путём воздействия на вектор r_ЗСТ таким образом, чтобы вызвать общественно необходимые изменения вектора F выпуска конечной продукции. И это невозможно делать без анализа и прогнозирования межотраслевых балансов как в натуральном учете продукции, так и платежеспособности отраслей, государственности и населения.

Желательные изменения в производстве продукции конечного потребления на предстоящем периоде времени определенной длительности могут быть описаны межотраслевым балансом продуктообмена:

(E - A)X = F »= F_D, где F_D - необходимый планируемый спектр производства конечной продукции. Такая запись означает, что в записи (1) все, кроме столбца F₁,…, F_n следует перенести в левую часть, а справа от F в каждой строке необходимо написать знак «»=» и поставить соответствующее значение F₁,…, F_n . Также желательно, чтобы выход конечной продукции F был максимален, а используемые производственные мощности X были минимальны. Все это в совокупности приводит к задаче линейного программирования (ЛП):

(E - A)X = F »= F_D

X »= 0 ........................................(2)

Найти Min(Z), Z = r₁X₁ + r₂X₂ +… + r_nX_n

где r₁ ,…, r_n некие весовые множители при мощностях Х₁,…, X_n. В задачу могут быть введены и другие ограничения, например: Х «Х_MAX ограничения на численность персонала и т.п. Но они не изменяют характера используемых для решения подобных задач математических методов.

Линейное программирование - раздел алгебры, имеющий дело с решением систем неравенств подобного типа. Он существует с начала 1940-х годов и используется в качестве аппарата для формализованного выбора оптимального решения задач управления объектами, описываемыми большим числом параметров. По этой причине в вузах СССР и ныне его преподаванием стараются не «пересолить» и он остается неизвестным для большинства прошедших вузовские курсы математики.

Теперь поговорим о математическом смысле модели межотраслевого баланса в форме (2). В трехмерном пространстве линейное уравнение с тремя неизвестными задаёт плоскость. Два уравнения задают две плоскости и линию их пересечения. Каждая плоскость разделяет полное пространство на два полупространства, подобно тому, как нож рассекает картофелину пополам. Замена знака равенства на знак неравенства позволяет выбрать одно из полупространств (половинку картофелины), причем строгое неравенство (», «) исключает из избранного полупространства секущую плоскость, а нестрогое неравенство (»=, «=) включает рассекающую плоскость в избранное полупространство (т.е. нож остается «приклеенным» к избранной половинке картофелины). Много неравенств в трехмерном пространстве - вырезка плоскостями из полного пространства некоторой области: многогранника.

В n-мерном пространстве - то же самое: уравнение n переменных определяет подпространство размерностью n - 1, называемое гиперплоскостью. Много неравенств в n-мерном пространстве вырезают гиперплоскостями из него некую n-мерную область. Геометрически это - n-мерный эквивалент трехмерной картофелины после её обрезки ножом: т.е. n-мерный многогранник, выпуклый многогранник, что означает: две его любые точки могут быть соединены прямой линией, и эта линия не будет лежать вне его. Иными словами, если «картофелину» после обрезки ножом проткнуть спицей в любом направлении насквозь из любой ее точки, то спица войдет в нее и выйдет из картофелины только по одному разу.

Аргумент Z - функции минимум - также линейная функция: Z = r₁X₁ + r₂X₂ +… + r_nX_n. То есть это - также уравнение некой гиперплоскости. Её направленность в пространстве определяется набором коэффициентов r₁,…, r_n . А удаленность от начала координат определяется значением свободного члена Z. Координаты точек, т.е. конкретный набор значений Х₁,…, X_n могут избираться только из области, вырезаемой из пространства всею системой неравенств. Это означает, что гиперплоскость Z = r₁X₁ + r₂X₂ +… + r_nX_n переносится в пространстве параллельно самой себе с целью найти минимальное значение Z. Если мы положим на стол многогранник, обрезанную картофелину, и будем подносить к ней плоскость-книгу, перемещая её параллельно самой себе, то книга коснётся картофелины как минимум в одной вершине многогранника. В этой вершине и будет достигаться минимальное или максимальное значение функции Z = r₁X₁ + r₂X₂ +… + r_nX_n . Аналогичное утверждение доказано в линейной алгебре для n-мерного пространства математически строго. Решение задачи тем самым сводится к последовательному перебору конечного числа вершин выпуклого многогранника, вырезаемого из n-мерного пространства гипэрплоскостями ограничений-неравенств. Такой алгоритм перебора вершин и выбора минимума или максимума называется симплекс-метод и он известен с 1940 года в различных модификациях.

Практически в каждой книге, в которой рассматривается применение аппарата линейного программирования, излагается теория двойственности. Её смысл сводится к тому, что для одной задачи ЛП, называемой прямой, по определенным правилам можно построить другую задачу ЛП, называемую двойственной, и решения обеих задач будут связаны вполне определенным образом. По отношению к задаче (2) двойственная задача записывается так: