При некотором навыке процесс вычисления можно ускорить, обратив главное внимание на основную операцию, которая связывает две части формулы. В приведенном примере (табл. 7) достаточно заметить, что ложная импликация возникает при истинном антецеденте и ложном консеквенте. Отсюда легко определить возможные значения х и у в дизъюнкции (х ∨ у), а также значения х и z в конъюнкции (х ∧ z). Такой сокращенный способ вычисления истинности сложного высказывания основывается на установлении главной логической операции в рассматриваемой формуле.

Такие законы представляют собой тождественно истинные высказывания, т.е. высказывания, остающиеся истинными при любых значениях входящих в них простых высказываний. В справедливости этого утверждения можно убедиться опять-таки с помощью таблиц истинности. В принципе все тождественно истинные высказывания являются законами логики (или исчисления высказываний). Мы перечислим только основные из них.

• Закон тождества: если х, то х, т.е. х → х.

• Закон упрощения: если х и у, то х, т.е. х∧у→х. То же самое относится к другому конъюнктивному члену: х∧у→ у

• Закон эквивалентности: если из х следует у, а из у следует х, тогда высказывания эквивалентны, т. е. x ↔ у.

• Закон гипотетического силлогизма: если из х следует у, а из у следует z, то из х следует z, т.е.

((x → y) ∧ (y → z)) → (x → z)

• Закон двойного отрицания: если из х следует не-х, то отрицание последнего приводит к первоначальному высказыванию:

¬ (¬x) ↔ x

• Законы О. де Моргана дают возможность переходить от конъюнкции к дизъюнкции и, наоборот, от дизъюнкции к конъюнкции. Они служат удобным средством для преобразования высказываний:

а) отрицание конъюнкции высказываний эквивалентно дизъюнкции из отрицаний конъюнктивных членов:

¬ (x ∧ y) ↔ (¬x ∨ ¬y)

б) отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаемых членов дизъюнкции:

¬ (x ∨ y) ↔ (¬x ∧ ¬y)

• Закон "поглощения": конъюнкция или дизъюнкция одинаковых высказываний эквивалентна самому высказыванию, т.е. повторяющийся член "поглощается":

(x ∧x) → x и (x ∨ x) → x.

• Коммутативные законы для конъюнкции и дизъюнкции разрешают перестановку их членов:

(x ∧ y) ↔ (x ∧ y) и (x ∨ y) ↔ (y ∨ x).

• Ассоциативные законы для конъюнкции и дизъюнкции позволяют по-разному сочетать члены, т.е. по-иному расставлять скобки:

x ∧ (y ∧ z) ( ↔ x ∧ y) ∧ z или x ∨ (y ∨ z) ( ↔ x ∨ y) ∨ z.

• Закон контрапозиции разрешает прямую импликацию заменять обратной, в результате чего антецедент первой заменяется отрицанием консеквента второй, а ее консеквент - отрицанием антецедента. Проще говоря, при контрапозиции происходит перестановка членов импликации или их контрапозиция, но они берутся с отрицаниями:

(x → y) (¬ ↔ y → ¬x)

• Закон противоречия: два противоречащих друг другу высказывания, т.е. высказывание х и его отрицание не-х, не могут быть вместе истинными:

(x ∧ ¬x)

Поскольку этот закон запрещает противоречия в рассуждении, то его часто называют также законом непротиворечия, и последнее более правильно.

• Закон исключения третьего: из двух противоречащих друг другу высказываний только одно является истинным. Тогда второе будет ложным и никакой третьей возможности не существует

x ∨ ¬x

Все эти законы можно непосредственно проверить с помощью таблиц истинности, но их желательно запомнить, чтобы каждый раз не обращаться к построению таблиц. Можно было бы привести и другие законы, которые иногда применяются в рассуждениях, но они играют значительно меньшую роль. В принципе таких законов может быть бесчисленное множество. Все они должны содержать только переменные и логические постоянные и быть истинными в любой области (универсуме) рассуждения. При этом предполагается, что данная область непустая. В логике высказываний к постоянным относят логические коннекторы (связки), с помощью которых образуются сложные высказывания, а переменными являются простые высказывания.

Все перечисленные выше законы служат основой для правильных рассуждений, ибо опираясь на них, никогда нельзя получить ложного заключения из истинных посылок. Поэтому любое последовательное, непротиворечивое и правильное мышление всегда осуществляется в соответствии с законами логики, сознаем мы это или нет. В то же время среди перечисленных законов необходимо выделить самые основные, которые обычно называются законами логики. К ним относятся законы тождества, противоречия и исключенного третьего, о которых пойдет речь в гл.6.

Все законы исчисления высказываний, как в этом можно убедиться с помощью таблиц истинности, являются тождественно истинными (общезначимыми формулами). Какие бы истинностные значения не придавались входящим в них высказываниям, в конечном счете формула оказывается всегда истинной. Вот почему эти законы явно или неявно применяются в любом рассуждении, ибо именно с их помощью становится возможным преобразовать и упрощать имеющуюся информацию и приходить к определенным заключениям. Поясним это на примере закона контрапозиции. Если нам известно, что "треугольник х равнобедренный", то отсюда следует высказывание у, утверждающее, что "углы при его основании равны". Но если эти углы не равны, то по закону контрапозиции можно заключить, что "треугольник не является равнобедренным", т.е. (х → у) → (¬y → ¬x). Таким образом, этот вывод мы получаем чисто логически, не прибегая, например, к доказательству методом от противного.

Отсюда непосредственно видно, что законы логики высказываний, во-первых, облегчают наши рассуждения, во-вторых, значительно упрощают их, в-третьих, делают их более точными и удобозримыми, ибо с символами и формулами обращаться легче, чем с менее определенными и неточными словесными формулировками.

Поскольку законы исчисления высказываний являются такими же общезначимыми по своему характеру, как и основные законы логики, то в принципе они ничем не отличаются от них. Если мы продолжаем отличать их от основных законов логики, то это скорее дань традиции, хотя для характеристики разных систем такое различие продолжает сохранять свое значение. Так, конструктивную логику мы отличаем от классической по отсутствию в ней закона исключенного третьего.

Основная задача логики состоит в том, чтобы исследовать, какие следствия вытекают из данных утверждений, например, какие теоремы в математике следуют из принятой системы аксиом. Интуитивно мы можем выводить заключения, не обращаясь к логической символике и технике и даже ясно не сознавая те логические правила, которыми неявно пользуемся. Однако в более трудных случаях интуитивных возможностей оказывается недостаточно, в особенности когда приходится проверять рассуждения и анализировать ошибки. Даже в простейших случаях можно допустить ошибку, как показывает следующий пример.

"Если не будет дождя (¬Д), то он придет на встречу (В)". Пошел дождь, значит он не придет на встречу (¬В). Переведем эту словесную формулировку на логический язык исчисления высказываний и тогда получим формулу:

((¬Д → В) ∧ Д)) → ¬В (1)

Чтобы проверить правильность заключения, построим для него таблицу истинности (табл. 8).

Хотя заключение словесного рассуждения кажется на первый взгляд верным, но оно логически не следует из посылок, в чем можно убедиться, если сравнить значение истинности посылок формулы (1) со значением истинности заключения. Если бы заключение логически следовало из посылок, тогда при одновременной истинности посылок (¬Д → В) в первой строке табл. 8 и Д заключение ¬В в последнем столбце этой же строки должно быть истинным, а оно ложно. Но фундаментальный принцип логики постулирует, что из истинных посылок нельзя вывести ложного заключения. Это и показывает, что рассматриваемое заключение не следует из посылок. Ведь не исключается возможность, что несмотря на дождь, человек может прийти на встречу.