Математические задачи — своего рода упражнения, развивающие ум. Решая их, мы учимся мыслить рационально. Поэтому для психологического эксперимента и выбрали задачу по математике: так удобнее было проверить, кто как думает.

Сравнивая магнитофонную запись рассуждений школьников, психологи ясно увидели, что одним математика пошла на пользу — они научились думать экономно, концентрированно, а мысли других растянуты, изобилуют ошибками, часто заходят в тупик. Судите сами. Борис М. думает так:

Читает условия задачи. Спрашивает: «Начертить ее?» Чертит трапецию. Повторяет: «Доказать, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики. Что означает «треугольники равновелики»? Это значит, что равны их площади. Так. А площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Значит, нужно доказать, что равны их основания и высоты.

Если бы трапеция была равнобедренная… А диагонали, что в точке пересечения дают? Я забыл уже, это было в прошлом году… Не знаю.

Надо провести высоту у этих треугольников. А как провести? Я не знаю… Угол… Надо показать, что треугольник АВС равновелик треугольнику ВСД. У них одинаковое основание, так… и высоты равны. Ну, и вот все. Из равновеликих треугольников вычтем треугольник ВОС, который входит в каждый из них».

А вот как размышлял Геннадий Л.

Читает условие задачи вслух. «Трапеция какая? Равнобедренная?» Чертит чертеж, обозначает его. Вновь читает условие задачи (медленно). «Что дано, не писать?» Пишет, что дано по условию задачи. «Равновелик по площади то есть?… Мы здесь имеем по равному углу, так как вертикальные углы (показывает их). Дальше, что мы еще имеем? Так, здесь параллельные прямые. Доказать равенство углов и… Нет, это не годится. Тогда мы другое возьмем. Так… Ну, правильно… Не умею думать вслух.

По равенству углов не докажешь. Доказать равенство каких-нибудь углов, потом…

Может быть, здесь разбить на треугольники, а потом доказывать? Нет, так не выйдет. Основание какое у них будет? — Встал на стул коленями, шумно двигает стулом, грызет карандаш. — Ну, может быть, так можно: от площади трапеции отнимать сумму площадей треугольников ВОС и АОД, получится сумма площадей треугольников АВО и ОСД. Вот что у нас получится. Теперь дальше… Что же будет дальше?

Вот как можно. Возьмем фигуру АВОСД. Когда мы из нее вычтем ВАО и АОД, у нас останется ОСД, Нет, не то. Как же доказать?

Ну, возьмем треугольники ВСД и ВАС: что же тогда получится? — Пишет. — Но это ничего не дает…

Может, можно взять эти? — Показывает треугольники АВС и ВСД. — Если мы докажем, что они равновелики, то все. Но как доказать?.. И тут основание и тут основание…

Ничего. А если взять треугольники АВД и АСД? У них одна общая сторона и равные высоты. Ну и все. Они включают общий треугольник АОД. Если мы его вычтем, то останутся равновеликие искомые треугольники».

Видите, сколько лишних этапов прошла мысль Геннадия, причем большинство из них даже косвенно не работали на решение, а были просто ошибочными. Ученые подсчитали, что у школьников, мыслящих нерационально, подобно Геннадию, ошибочные мысленные действия составляли чуть ли не половину. У школьников же типа Бориса — всего десятую часть. А сами действия у первых были скорее практическими (работа с чертежом), чем теоретическими, как у вторых.

Эти последние думают очень четко. Они начинают с того, что сразу и правильно определяют предмет рассуждения. Анализируя, они выделяют существенные элементы задачи и затем подводят ее под определенную категорию, то есть решают как типовую. Решение протекает у них не хаотично, а по строгому плану, предусматривающему последовательность мысленных действий. Все это вместе взятое и определяет успех.

Как видите, не из каждого старательного Петьки получается Ломоносов. Все зависит от того, что школьник развивал: память или умение думать.

Но почему одни овладели рациональным способом думать, а другие нет? Психологи продолжили и углубили свои опыты. Уже известный нам по исследованию головоломок психолог Яков Александрович Пономарев стал наблюдать на этот раз за младшими школьниками. Он поставил своей целью определить, когда и как дети начинают действовать в уме. Ведь эта способность — ключ дальнейшего развития их интеллекта и человеческого разума вообще. Именно благодаря умению производить какие-то действия в мысленном теоретическом плане самый плохой архитектор, по словам Маркса, и отличаемся от наилучшей пчелы.

Что лежит в основе этого свойства ума? Способность мысленно вырабатывать план внутренних действий.

Массу действий мы совершаем только на уровне внешнего плана. При этом не вполне осмысленно. Руководствуемся не замыслом решения, а непосредственной ситуацией. Получается не целенаправленное действие, а случайные поиски решения.

Особенно ярко необходимость внутреннего плана действий выступает в таком опыте. Первокласснику дают дощечку, в которую забито десять гвоздей.

Гвозди обтянуты веревочкой. Так, что получается рисунок, похожий на открытый конверт. Ученик должен снять веревочку, а затем вновь надеть ее точно таким же образом. Выяснилось, что не всем первоклассникам удается выполнить это требование. Причем самостоятельно совершить мысленный переход от первого действия ко второму они не могут. Ведь надо не просто запомнить последовательность операций, а усвоить принцип действия. А это можно сделать только с помощью внутреннего плана действий.

Дальнейшие опыты (надо было мысленно научиться играть в «классики») показали, что дети одного возраста совершенно по-разному решают такие задачи. Действия одних определяются лишь внешней ситуацией, зато другие думают по заранее намеченному плану, подобно вполне умственно сформировавшимся взрослым.

Более 800 опытов провел Пономарев, обследуя младших школьников разных школ и проводя разведку, как он сам говорит, среди дошкольников и старшеклассников. В итоге у него получилась полная картина последовательного развития внутреннего плана действий за годы учебы.

Шкала умственного развития оказалась очень пестрой. Самое любопытное, что теоретические свойства ума только в небольшой степени оказались зависящими от возраста. Даже среди старших школьников были ученики с еще не развитой способностью составлять внутренний план действий. И наоборот, встречались первоклассники, умеющие мыслить направленно, рационально.

Это дало возможность Пономареву лучше объяснить свои прежние опыты с четырьмя точками. Описать треугольник около квадрата не удавалось до тех пор, пока не складывался внутренний план мысленных действий. Все предыдущие пробы оказывались неудачными потому, что задача решалась ненаправленно, нерационально — короче, не творчески.

Конечно, астроном Маскелин, работавший в Гринвичской обсерватории, несколько поторопился, когда решил уволить своего помощника. Нам осталось неизвестным ни его имя, ни содержание произошедшего между ними разговора. Сохранились сведения лишь о причине недовольства. Астроном обнаружил, что помощник неправильно определял время прохождения звезд. Во всяком случае, у него получалось иное время, чем у самого Маскелина.

Только через двадцать лет стало известно, что помощник невиновен.

Об этом вспомнили психологи, когда взялись исследовать мышление с помощью теории информации. Эта математическая дисциплина изучает процессы передачи информации по самым различным системам связи. К ним могут быть отнесены не только технические устройства вроде телефона, телеграфа или радио, но и «живой телеграф» — сообщения, которые передаются по нервам в мозг. Ведь слушаем мы симфонию Чайковского или крик петуха, восхищаемся мастерством Родена или смотрим на морские волны, ощущаем солнечное тепло или прикосновение холодного ветра, чувствуем голод или боль — все эти столь различные сообщения, приходящие из внешнего мира, поступают в мозг в форме нервных сигналов.