Самым существенным условием перехода от аксиом механики и от закона тяготения, генезис которых был завершающим этапом научной революции, к органическому развитию классической науки были дифференциальное и интегральное исчисления в их классической аналитической форме. Коснемся одного вопроса, связанного с историей инфинитезимального анализа. Почему Ньютон не применял метод флюксий в «Началах»? На сей счет существует много объяснений, и убедительных, и простых; например, ссылаются на непонятность нового математического метода для читателей «Начал». К этим объяснениям следует добавить далеко не столь простое и бесспорное, но тем не менее необходимое соображение. При любой попытке рассматривать непрерывное движение, доводя его до пункта, где движения уже нет, а направление движения сохраняется, мысль как бы совершает скачок к некоторому логически парадоксальному заключению. Даже у самых первых математиков, вводивших анализ бесконечно малых, было некоторое предвосхищение идеи предела, неясная и логически парадоксальная интуиция, охватывающая и связывающая воедино многоугольник и круг у Николая Кузанского, несущественную по своей малости песчинку и песчаную гору у Лейбница, расстояние и скорость в данной точке у Ньютона. В эпоху, когда чисто логические понятия заменялись понятиями, допускающими чувственные аналоги, математические объекты были интуитивно представимыми, иначе они бы не стали основой новой картины мира. Сенсуальная интуиция, необходимая основа рационализма XVII в., обгоняла логические конструкции бесконечности и бесконечного деления, мысль шла от образа к идее. Несомненно, вулсторпские размышления Ньютона соответствовали такому направлению мысли, и он повторил в своем творчестве этот путь, казавшийся ему естественным и понятным. Таким образом, «непонятность» аналитического изложения закона тяготения вытекала из стиля естественнонаучного и математического мышления XVII в.
Но существовала и более общая основа игнорирования метода флюксий в «Началах». Она связана с неудачей эфирной концепции тяготения. Для Ньютона метод флюксий был не только новым математическим методом, но и натурфилософским и физическим представлением, концепцией основных свойств мироздания. Эволюция физики XVIII—XIX вв. позволяет объяснить положение, сложившееся в XVII в. Физическим эквивалентом дифференциального исчисления стало представление о близкодействии, идея физической реальности поля. В период подготовки «Начал» идея близкодействия могла получить лишь форму эфирной концепции тяготения, картезианскую форму. Но это противоречило основной установке Ньютона — однозначности системы мира; с эфиром ученый мирился в оптике и в химических концепциях, но в «Начала» эфиру путь был закрыт.
Отсюда — поздняя публикация математических трудов Ньютона, хотя сроки публикации определялись и менее глубокими, но более явными стимулами, в частности соображениями приоритета. Но тут была и собственно гносеологическая причина. Ньютон отказывался публиковать свои работы не только из неприятия полемики, не только по свойствам своего, вообще говоря, нелегкого характера — он как бы интуитивно чувствовал всю необратимость эволюции познания, выраженную в достоверных (хотя бы в определенных границах) констатациях и обобщениях науки. Стремление к полной достоверности, к бесспорности — это внутренний (как уже было сказано, возможно, неосознанный) импульс, заставлявший избегать дискуссионных утверждений. Но что такое достоверность?
Ньютон видит ее в согласии с опытом: математические конструкции становятся достоверными, когда они приобретают онтологическую ценность, становятся суждениями о реальном мире, экспериментально проверенными утверждениями. Основы дифференциального и интегрального исчислений стали отвечать этому требованию, когда было создано математическое естествознание, в основном в XVIII в. В конечном счете именно с этим интуитивным представлением о математике и ее онтологической ценности, с бэконовским и локковским сенсуализмом, ставшим внутренним, еще раз подчеркнем, безотчетным психологическим стимулом Ньютона, связаны поздние сроки публикации его математических трудов.
Если мы раскроем эти труды («Универсальную арифметику» и уже упоминавшиеся работы, положившие начало анализу бесконечно малых), мы увидим, что Ньютон рассматривает физические задачи и выбирает те математические понятия и методы, которые предполагают существование физических эквивалентов.
Каких именно эквивалентов? Чего именно ждет математика Ньютона?
На этот вопрос можно ответить, ближе познакомившись с основной идеей теории флюент и флюксий. Здесь понадобятся некоторые предварительные пояснения.
Метод флюксий и лейбницевский метод дифференциалов получили непротиворечивую форму, когда О. Коши ввел понятия предела и переменной величины, стремящейся к пределу. Переменная называется бесконечно малой, если ее пределом служит нуль. Анализ бесконечно малых рассматривает предел отношения между приращениями двух переменных, из которых одна является функцией другой, например предельное отношение приращения пути к приращению времени. Такое предельное отношение называется, как известно, производной функции. Скорость в данной точке — это предел отношения приращения пути к приращению времени, производная пройденного пути по времени. Нахождение производной по первообразной функции, например нахождение скорости по пройденному пути, называется дифференцированием. Обратная операция — нахождение первообразной функции по ее производной — называется интегрированием. Можно найти производную от производной. Вторая производная от пути по времени — это ускорение.
В «Методе флюксий» Ньютон предупреждает, что введенные им математические понятия представляют собой обобщение категорий механики, что уподобление флюксии скорости нарастания пройденного пути — лишь исходная аналогия и наиболее важный пример общего соотношения между флюентой и флюксией. Соответственно независимой переменной может служить любая величина, если к ней как к заведомо равномерно и бесконечно изменяющейся отнесены все другие величины. Такое обобщенное понятие времени мы встречаем и в «Началах». Подобное обобщение открывает дорогу новым физическим понятиям. Представим себе, что независимой переменной служит пространство, например пространственное расстояние от центра тяготения, и нам нужно вычислить силу тяготения в каждой точке. Сейчас мы знаем, что решение подобных задач связано с представлением о силовом поле — пространстве, где каждой точке соответствует определенное значение силы, действующей на единичную массу. Мы знаем также, что подобная формальная континуализация тяготения, заполняющая пространство чисто математическими величинами, превратилась впоследствии в картину материальной среды, передающей силу от точки к точке и (после того как была доказана конечная скорость распространения взаимодействия) от мгновения к мгновению.
Таким образом, математическое обобщение механики дальнодействия вело к физике близкодействия.
Представление о флюксии как о предельном отношении (вернее, тенденция к такому представлению) у Ньютона уживалось с иной тенденцией — с идеей бесконечно малых величин, рассматриваемых как не протяженные, но находящиеся в определенных отношениях друг к другу. Когда Ньютон говорит о «первых и последних отношениях», то иногда неясно, имеет ли он в виду предельное отношение переменных величин или же отношение предельных постоянных значений.
В целом Ньютон склоняется к идее предельных отношений между величинами, которые остаются переменными и никогда не достигают своих пределов. Но в этом вопросе в «Методе флюксий» и «Началах» нет полной определенности. У Ньютона теория пределов существовала не в виде законченной концепции, а в виде некоторой программы или тенденции, у него была известная разноголосица в понимании и обосновании бесконечно малых.
Лейбниц независимо от Ньютона сформулировал методы дифференциального и интегрального исчислений. Он ввел их по существу в современной форме. Нас интересует определение бесконечно малой у Лейбница. В его математических идеях немало противоречий, и, кроме того, они изменялись в течение жизни ученого. В работах Лейбница можно найти различное понимание основных математических категорий, и прежде всего различное понимание бесконечно малых.