Трудно, однако, узнать, знаем ли мы или нет, ибо трудно узнать, знаем ли мы из (свойственных) каждой вещи начал или нет, а в этом как раз и состоит знание. Думаем же мы, что знаем, если у нас имеется силлогизм из каких-либо истинных и первичных (положений). Это, однако, не так; необходимо же, чтобы (выводимое) было однородным с первичными (положениями).

[1] Математик из Гераклеи, по преданию, – ученик Пифагора. Брисон пытался доказать квадратуру круга, рассматривая круг как нечто среднее между квадратом, вписанным в круг, и квадратом, построенным на круге. Доказательство Брисона Аристотель считал слишком общим, то-есть для своего доказательства Брисон использовал положения, взятые из других областей, а не из самой геометрии.

[2] По существу.

[3] Силлогизма, служащего доказательством данного положения.

[4] Если А само по себе (по существу) присуще Б, а Б таким же образом присуще В, то Б как средний термин должен принадлежать к тому же самому роду, что и А и В, – на этом ведь основывается все доказательство.

[5] Наука, подчиненная другой, высшей науке (как гармония – арифметике) способна, по Аристотелю, доказать лишь то, что данный предмет есть такой-то, а не почему он есть такой.

[6] Из высших причин.

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ

(Определение начал. Предположение, постулат и определение)

Началами же в каждом роде я называю то, относительно чего не может быть доказано, что оно есть. Следовательно, то, что обозначает первичное и из него вытекающее, принимается. Существование начал необходимо принять, другое - следует доказать. Например, что такое единица или что такое прямое и что такое треугольник (следует принять); что единица и величина существуют, также следует принять, другое - доказать.

Из тех (начал), которые применяются в доказывающих науках [1], одни свойственны каждой науке в отдельности, другие - общи всем; общи - по сходству, потому что (каждое общее всем начало) применимо, поскольку оно относится к роду, подчиненному (данной) науке [2]. Свойственным (лишь одной науке) является, например, то, что линия - такая-то и прямое - такое-то. Общее же, например, то, что если от равного отнять равные (части), то остаются равные же (части). Каждым из таких (общих положений) можно пользоваться, поскольку оно относится к роду, (подчиненному данной науке), ибо оно будет иметь одинаковую силу, если не брать его для всего подходящего), но (в геометрии) - в отношении величин, а в арифметике - в отношении чисел.

Но есть (начала), свойственные (лишь данной науке), которые принимаются как существующие и которые наука рассматривает как присущие сами по себе, например, арифметика - единицы, а геометрия - точки и линии, ибо эти (науки) принимают существование и такое-то существование (этих начал). Относительно же самих по себе присущих им свойств принимают, что каждое из них обозначает. Например, арифметика - что такое нечетное и четное, а также квадрат или куб, геометрия - что такое несоизмеримое, а также ломаные и сходящиеся (линии), но что (все это) существует, доказывают посредством общих (всем им) (начал) и из того, что (уже) было доказано (раньше). Точно так же обстоит дело и в астрономии. Действительно, всякая доказывающая наука имеет дело с тремя (сторонами): то, что принимается как существующее, именно род, свойства которого, присущие ему сами по себе, рассматривает наука, и общие (положения), называемые нами аксиомами, из которых, как из первичного, ведется доказательство. Третье - это (сами) свойства (вещей), обозначение каждого из которых рассматривает (наука). Ничто не мешает, чтобы некоторые науки не обращали внимания на некоторые из (этих сторон) [3], как, например, не предполагать, что род существует, если очевидно, что он существует (ибо не в одинаковой мере ясно, что есть число и что есть холодное и теплое), и не рассматривать обозначения свойств, если они ясны, и точно так же не рассматривать обозначения общих (положений), как, например, что значит отнять равное от равного, ибо это известно. Но тем не менее по существу (дела) остаются эти три (стороны): то, относительно чего доказывается, то, что доказывается, и то, на основании чего доказывается [4].

То, что необходимо существует через само себя или должно казаться (таким) [5], не есть ни предположение, ни постулат. Ибо доказательство касается не внешнего выражения, но внутреннего смысла, потому что силлогизм не (касается внешнего выражения). Действительно, всегда можно выдвигать возражения против внешнего выражения (доказательства), но не всегда против его внутреннего смысла. Итак, все то, что, хотя и доказуемо, но сам (доказывающий) принимает, не доказывая, и учащемуся это кажется (правильным) [6], - это есть предположение, и (притом) предположение не безусловное, а лишь для этого (учащегося). Но если принимают (что-то), в то время, как (учащийся) не имеет никакого мнения (об этом) или имеет мнение, противное (этому), то постулируют (это). И в этом-то и заключается различие между предположением и постулатом. Ибо постулат есть нечто противное мнению учащегося или (нечто) такое, что, будучи доказуемым, принимается и применяется недоказанным.

Определения же не суть предположения, ибо они ничего не говорит о том, существует ли (данный предмет) или нет, но в посылках предположения содержатся. Определения должны быть только поняты, и это не предположение [7], иначе можно было бы сказать, что и слушать (что-то) есть предположение [8]. Но (предположения) - это (суждения), при наличии которых получается заключение благодаря тому, что они есть. И геометр не предполагает (нечто) ложное, как это утверждали некоторые, указывая, что не следует пользоваться ложными (положениями), а геометр как раз и допускает ложное, когда про линию, не имеющую в длину фута, говорит, что она имеет эту длину, или про начерченную линию, не являющуюся прямой, говорит, что она прямая. Однако геометр ничего не выводит на основании того, что линия такая, какой он сам ее назвал, но (выводит) посредством того, что он (этим) имел в виду. Далее, всякий постулат и всякое предположение (берется) или как (нечто) целое, или как часть, определения же - ни как то, ни как другое [9].

[1] В аподиктических науках.

[2] Например, положение, что целое больше своих частей, обще геометрии и арифметике, только в геометрии оно имеет силу для геометрических фигур и его элементов, в арифметике, по сходству (по аналогии), - для чисел. Родом (родовым понятием) для обеих наук является здесь величина.

[3] Аподиктической науки.

[4] Предмет доказательства, само доказательство и принципы (начала) доказательства. Без этих трех моментов, говорит Аристотель, не может быть науки, но не всегда все эти три стороны выражены, часто та или другая сторона только подразумевается как само собою понятное. Так, состояние холода и тепла мы непосредственно воспринимаем нашими чувствами. Другое дело число.

[5] Имеются в виду аксиомы.

[6] Доказуемо, но не доказано.

[7] Ибо определение не говорит о том, существует ли данный предмет или нет.

[8] С тем же правом можно было бы и всякое высказанное положение о чем-либо назвать предположением.

[9] В определении определяемое берется без указания его объема. Мы не говорим, например, все квадраты или некоторые квадраты суть такие-то фигуры, а говорим: квадрат есть фигура с такими-то свойствами.