ДВЕ ЗАГАДКИ

Более трехсот лет тому назад проживал в городе Тулузе знаменитый французский математик П. Ферма. Сын торговца, он изучил законоведение и с 1631 года до конца жизни был советником Тулузского парламента (то есть суда). Но занимался он отнюдь не только судебными кляузами. Будучи широко образованным человеком, он изучал и комментировал древних авторов и, кроме того, сам весьма успешно работал в области математики и физики. Широкую известность П. Ферма получил главным образом благодаря своей так называемой великой теореме Ферма. Формулировку ее он записал на полях принадлежащего ему тома сочинений Диофанта и там же указал, что нашел очень красивое и простое доказательство теоремы, но изложение его на полях не поместится.С тех пор ни одному из крупнейших математиков мира не удалось ни доказать, ни опровергнуть великую теорему Ферма. Это одна из загадок, которые П. Ферма оставил своим потомкам. Интересно, что при жизни он почти не издавал своих трудов. Большинство его научных достижений стало известно по всякого рода пометкам, вроде пометки на полях книги Диофанта, а главным образом из его обширной переписки с современниками.Второе открытие (или вторая загадка) менее популярно, но для нас оно будет представлять значительно больший интерес. Изучая законы распространения и преломления света, ученый сформулировал положение, известное ныне как принцип Ферма. Согласно этому принципу свет, распространяясь в неоднородной среде, всегда выбирает такой путь, время прохождения по которому оказывается наименьшим среди всех возможных. На первый взгляд нет тут ничего особенного, а тем более загадочного. Сформулирован некий физический принцип, справедливость которого неоднократно проверялась и была доказана экспериментально. Количественное выражение законов преломления света известно в физике под названием закона Снелла, по имени голландского математика В. Снелла, сформулировавшего свой закон в 1621 году.Загадка возникает тогда, когда мы начинаем размышлять над принципом Ферма. Не сочтите за труд, дорогой читатель, и посмотрите на приведенный здесь рисунок (рис. 1). В точке А расположен источник света (лампочка), а в точке Б вы видите световое пятно от этой лампочки на экране. Между точками А и Б расположена стеклянная пластинка. Сплошной линией показан путь света от точки А к точке Б. Это тот самый путь, на движение по которому согласно принципу Ферма будет затрачено наименьшее количество времени. Все очень просто, и картинка эта всем хорошо известна. Именно с нее начинается изучение так называемой геометрической оптики.Но вот вопрос. Скорость распространения света хоть и очень велика, но конечна. Значит, существует такой момент времени, когда свет уже вышел из точки А, но еще не дошел не только до точки Б, но даже до ближайшей к точке А грани стеклянной пластинки. Спрашивается, откуда свет знает, что нужно двигаться именно по пути, изображенному на рисунке сплошной линией? Ведь имеются такие моменты времени, когда луч света еще не дошел до стеклянной пластинки и, казалось, было бы правильным двигаться по прямой, соединяющей точки А и Б (пунктирная линия).Положение, которое мы пытаемся здесь обрисовать, становится особенно выпуклым, если рассуждать с позиций современного корпускулярного представления о природе света. Тогда уже не световой луч (понятие достаточно расплывчатое), а каждый отдельный фотон, покидая точку А, в каждый момент времени принимает решение о том, в каком направлении ему двигаться. И неизменно фотон выбирает именно тот путь, время движения по которому окажется минимальным. Вот что говорит об этом известный американский физик Ричард Фейнман:«Свет проходит, видит перед собой поверхность и отклоняется, потому что на поверхности с ним что-то происходит. Легко понять идею причинности, проявляющуюся в том, что свет идет из одной точки в другую, а затем в следующую точку. Но принцип наименьшего времени есть философский принцип, который совсем иначе объясняет причину явлений в природе. Вместо причинной обусловленности, когда из одного нашего действия вытекает другое и т. д., этот принцип говорит следующее: в данной ситуации свет выбирает путь с наименьшим, или экстремальным, временем. Но как удается свету выбирать свой путь? Вынюхивает он, что ли, соседние пути и сравнивает их потом друге другом?»Современная релятивистская квантовая физика дает нам по меньшей мере два различных пути для размышлений о принципе Ферма. Первый из них таков. Если мы точно знаем положение точек А и Б, а также положения всех промежуточных точек пути, по которому распространяется свет, следовательно, мы точно знаем длину волны этого света. Лучи с различной длиной волны отклоняются по-разному. На этом основано разложение белого света в спектр с помощью стеклянной приемы. Если мы точно знаем длину волны света, значит, мы точно знаем импульсы соответствующих фотоном. Но согласно принципу неточностей Гейзенберга точное знание импульса означает полную неопределенность координаты. Про фотон нельзя сказать, что в данный момент времени он находится где-то в определенной точке. Наоборот, как любят выражаться физики, фотон размазан по всему пути от А до Б. Ну а коли так, то о чем, собственно, толковать?Другой путь рассуждений подсказывает нам теория относительности. Фотон движется со скоростью света. Представим себе, что наблюдатель связан с системой координат, в которой фотон неподвижен. Эта вторая система движется со скоростью света относительно той (первой) системы координат, в которой расположены точки А И Б и стеклянная пластинка. Наблюдатель видит первую систему координат с точками А и Б так, что все расстояния, совпадающие с направлением движения систем друг относительно друга, равны нулю (как говорят, они испытывают лоренцево сжатие). Опять-таки мы приходим к выводу, что перед фотоном не возникает вопроса о выборе пути. Он как бы одновременно находится и в точке А и в точке Б.Если у читателя создалось впечатление, что хотя бы один из предложенных способов рассуждений дает ответ на загадку света, спешим разочаровать его. Это далеко не так. В лучшем случае мы просто можем заменить один вопрос другим. Откуда свет (или фотон) знает, что он должен двигаться (или быть размазанным) по пути, соответствующему кратчайшему времени?Вся история была здесь рассказана с определенной целью. Нельзя не заметить поразительную аналогию между вопросом о свете: откуда свет знает и т. д., — и вопросом: откуда наш новый сотрудник узнал и т. д. Более того, в наших рассуждениях с позиций теории относительности, возможно, брезжит какой-то намек на возможный путь рассуждений, связанный с вопросом о найденной неисправности. Шахматисты часто утверждают, что, планируя комбинацию, они видят ее конечную цель, то есть как бы одновременно находятся в начальной и конечной точках пути. Все это и называется одним словом — интуиция.Однако не слишком ли мы зарвались? Не кощунственно ли сравнивать специалиста-электронщика с каким-то там фотоном? Поскольку понятие информации играет в этой книге одну из первых ролей, придется поискать еще примеры, которые позволили бы нам до конца разобраться в сути дела.

СКОЛЬКО ИНФОРМАЦИИ?

Давайте сыграем в такую игру. Один загадывает число, скажем, в пределах от единицы до тысячи, а второй в попытках угадать это число задает вопросы, ответом на которые может быть только «да» или «нет». Цель игры — угадать задуманное число, задав минимальное количество вопросов. Сегодня в такую игру можно сыграть не только с приятелем, но и с карманным электронным калькулятором.Хорошо известна стратегия этой игры, позволяющая, во всяком случае, не проиграть. Следуя подобной стратегии, вы должны мысленно разделить интервал, в пределах которого загадываются числа, пополам и задатьвопрос:— Задуманное вами число больше пятисот двенадцати?По причинам, которые будут ясны в дальнейшем, мы берем не точно половину интервала, то есть не число «пятьсот», а ближайшую к этому числу целую степень двойки (и все остальные называемые в вопросах числа — это также целые степени двойки ‘либо суммы таких степеней). В случае положительного ответа вы делите пополам верхнюю половину интервала и задаете следующий вопрос:— Задуманное вами число больше семисот шестидесяти восьми?В случае же отрицательного ответа на первый вопрос пополам делится нижняя половина интервала и соответственно следующий вопрос формулируется так:— Задуманное вами число больше двухсот пятидесяти шести?Легко убедиться в том, что каким бы ни было задуманное число, если только оно находится в пределах интервала от нуля до тысячи, отгадать его можно, следуя такой стратегии, не более чем за десять вопросов. В общем случае минимальное количество вопросов равно целому, ближайшему (сверху) к двоичному логарифму от ширины интервала, в пределах которого загадываются числа.Спрашивается, сколько информации вы получаете, узнав задуманное число? Академик А. Колмогоров предложил принять за количество информации, содержащейся в некотором сообщении, грубо говоря, минимальное количество ответов типа «да» — «нет», которые надо получить, чтобы угадать это сообщение. Существенную роль здесь играет слово «минимальное». Имеется в виду, что, во-первых, всегда существует стратегия, позволяющая так, как это было в только что рассмотренном примере, угадать сообщение, задавая вопросы, ответами на которые могут быть только «да» или «нет». Но это еще не все. Имеется также в виду, что среди многих таких стратегий (или алгоритмов, следуя терминологии А. Колмогорова) существует одна, обладающая тем свойством, что при ее использовании задается минимальное количество вопросов.Возникают вопросы и у нас. Мы живем в мире, насыщенном информацией: газеты, радио, телевидение, кино, книги и периодические издания. Известно, что число научных публикаций настолько велико, что подчас оказывается проще сделать некоторое открытие заново, чем отыскать его описание, пользуясь при этом даже самой современной информационной техникой. Вряд ли кто-нибудь из наших современников поставит под сомнение существование такой категории, как информация. Иное дело количество. Можно ли измерить количество информации точно так же, как, например, мы измеряем массу тела или силу электрического тока?Тот же вопрос можно сформулировать и иначе: можно ли вообще применительно к такой категории, как информация, говорить о некоторой объективной сценке, понимаемой как количество?Наш повседневный опыт скорее свидетельствует в пользу отрицательного ответа на этот вопрос. Действительно, на основе нашего опыта мы, казалось бы, должны прийти к выводу, что количество информации в некотором сообщении существенным образом зависит от того, кто получает сообщение. Например, если сообщение составлено на английском языке, то для человека, не знающего этого языка, оно представляется бессмысленным набором букв (или звуков). Аналогичным образом представляется не содержащим никакой информации сообщение, составленное на знакомом языке, если его содержание общеизвестно: снег белый, летом тепло, зимой холодно.Согласно известному физическому принципу Паули в любой системе, состоящей из элементарных частиц (атом, молекула, кристаллическая структура), не может быть двух электронов, находящихся в одинаковых состояниях (то есть характеризуемых одинаковыми значениями квантовых чисел). Справедливость этого принципа давно уже подтверждена десятками тысяч экспериментов. Но возникает естественный вопрос: каким образом электрон узнает, что в данной системе, которая может быть очень сложна, например в случае кристалла, уже имеется один электрон с таким же набором значений квантовых чисел? Можно ли говорить, что электрон получает информацию о структуре, и если да, то можно ли измерить количество такой информации? Или же, наконец, может быть, электрон проявляет интуицию?Несмотря на то, что теория информации как самостоятельное научное направление существует уже более сорока лет, однозначных ответов на все эти вопросы пока еще не дано. С другой стороны, как мы надеемся показать в этой книге, именно с ответами на эти вопросы связаны самые фундаментальные, самые глубинные представления естественных наук. Не говоря уже о том, что сам процесс научного творчества, во всяком случае в области естественных наук, представляет собой не что иное, как угадывание на основании вопросов, которые исследователь задает природе. В большинстве случаев природа отвечает на эти вопросы лишь «да» или «нет» (подтверждается ли некоторая теория экспериментом или нет).Здесь, правда, возможно возражение. Результат расчетов, проведенных на основании некоторой теоретической предпосылки, и результат измерений, проведенных в эксперименте, никогда не совпадают абсолютно точно. Поэтому, казалось бы, можно говорить о степени подтверждения теории экспериментом. Более того, можно измерять эту степень подтверждения, например, количеством десятичных знаков после запятой, в котором совпадают данные расчета и данные эксперимента. Читатель наверняка заметил здесь аналогию с проведенными раньше рассуждениями.Однако в большинстве случаев это не так. Каждая теоретическая предпосылка уже содержит в самой себе оценку той необходимой точности, с которой должны совпасть результаты расчетов и результаты экспериментов, для того чтобы можно было утверждать, что теория подтверждается экспериментом. Например, такая фундаментальная физическая величина, как отношение заряда электрона к его массе, была измерена вначале с весьма невысокой точностью. Погрешность измерения составляла несколько процентов. И все же этих данных оказалось достаточно для того, чтобы утверждать существование самостоятельной частицы — электрона — с неизменными значениями заряда и массы.С другой стороны, весьма малое (порядка десятой доли процента) расхождение теоретических и экспериментальных данных при исследовании бета-распада привело, как известно, к чрезвычайно сложной ситуации. Такой крупнейший физик, как Н. Бор, с которым мы еще не раз встретимся на страницах этой книги, предлагал даже, основываясь на этом расхождении, отказаться от закона сохранения энергии. Восторжествовала, однако, гипотеза В. Паули, согласно которой при радиоактивном распаде, кроме альфа-частиц, электронов и гамма-квантов, образуются еще другие, неизвестные в то время частицы — нейтрино. Через много лет нейтрино были обнаружены в эксперименте, и тогда только природа дала свой положительный ответ на вопрос, заданный ей В. Паули.