Сказанное будет уместно сравнить с выводами Фреге [7]: «один – это число, соответствующее понятию равное 0». Но трактуется это утверждение в современной математике иначе: как «1 = {0}», а не как «1 = {0 = 0}». Впрочем, если понятие множества натуральных чисел «N = {x всех таких | что существует(х)}» записать лишь по отношению к единице, то получим «1 = {0 такое | что существует 0}».

2.2. Число ноль

Хотя определение «ноль – это то, что не равно себе» полностью совпадает с определением, данным Фреге [7], «0 – это число, соответствующее понятию не равное себе», философских нестыковок с общепринятым мнением здесь ожидается куда больше.

Причиной тому, во-первых, служит высказывание самого Фреге [7]: «поскольку под понятие не равное себе ничего не подпадает, я объясняю: 0 – это число, соответствующее понятию неравное себе». И, во-вторых, более фундаментальное – отрицание противоречия как математического объекта в принципе. … И это не только забавно. С одной стороны, «под понятие не равное себе ничего не подпадает». С другой стороны, ноль есть, т. е. само это «под понятие не равное себе ничего не подпадает» все же существует.

Немного конкретики. … Если перед глазами, например, яблоко, груша и два карандаша, то, сколько здесь не фруктов? Если не фруктов два, то чему тогда будут соответствовать яблоко и груша как числу? Нулю! Вернее, яблоко и груша будут соответствовать нулю не фруктов. … И именно этот смысл отобразит система координат, если по одной оси отобразить фрукты, а по другой не фрукты.

Другой пример. Возьмем «х2 + 1 = 0». Решений этого уравнения не существует (мнимые не рассматриваем). Не существует, поскольку для всех значений «х» не найдется ни одно такое, что будет верно тождество. Например, для натуральных чисел в качестве значения, имеем: «1 = 0», «2 = 0», «5 = 0» и т. д.

Представим это в общем виде и с учетом «дополнения отношений»: «А = В» или «А = ~А» или «А ≠ А». Тогда, ноль – это то, что «А ≠ А» (ноль – это «А = ~А», ноль – это «А = В»).

Иначе говоря, «ноль – это то, что не равно себе» заменимо на «противоречие – это то, что не равно себе». Ноль – то же, что противоречие, и противоречие существует.

Сугубо философские размышления о противоречии устами классика ниже. …

2.3. Философия противоречия

Диалектика тождества и различия в сфере смысла из книги «Самоё само» Лосева [8]:

«Эта диалектика, по общему правилу, должна «отражать» те связи и переходы, которые царят в соответствующей области учения о бытии. Для этого вспомним диалектику бытия и небытия, данную в гл. II, § 1, п. За, и попробуем выразить ее в категориях сущности.

Небытие отлично от бытия. Значит, это бытие в отношении небытия тождественно с небытием. Значит, небытие отлично от небытия. Допустим, однако, что небытие отлично от небытия. Но то, что отлично от небытия, есть бытие. Следовательно, небытие тождественно с бытием. Итак, различие между небытием и бытием существует лишь постольку, поскольку между ними существует тождество. Или: когда между членами отношения существует различие, то это происходит только потому, что между ними существует тождество. Другими словами, различие возможно только там, где есть тождество; и оно возможно только потому, что там же есть и тождество.

Бытие отлично от небытия. Но небытие тоже есть некоторое бытие. Следовательно, бытие отлично от самого себя. Допустим, однако, что бытие отлично от бытия. Но то, что отлично от бытия, есть небытие. Следовательно, бытие тождественно с небытием. Итак, тождество бытия с небытием вытекает из различия бытия с небытием. Тождество возможно только там, где есть различие, и оно возможно только потому, что там же есть и различие.

Бытие тождественно с самим собою, т. е. с бытием Но бытие как предикат отлично тут от бытия как субъекта, ибо иначе было бы бессмысленно и самое это утверждение. А то, что отлично от бытия, есть небытие. Следовательно, если утверждение, что бытие тождественно с самим собою, имеет хоть какой-нибудь смысл, то только потому, что бытие отлично от самого себя. Итак, тождество есть различие.

Небытие тождественно с небытием. Но небытие как предикат отлично тут от небытия как субъекта, ибо иначе было бы бессмысленно и самое это утверждение. А то, что отлично от небытия, есть бытие. Следовательно, если утверждение, что небытие тождественно с небытием, имеет хоть какой-нибудь смысл, то только потому, что небытие различно с небытием. Итак, тождество есть различие.

Эти четыре аргумента имеют одно и то же содержание: тождество есть не что иное, как различие; и различие есть не что иное, как тождество; однако при этом тождество не есть различие; и различие не есть тождество.

Бытие и небытие тождественны только в том случае и только потому, что тому и другому тождественно присуще различие со своим другим. И также бытие и небытие различны между собою только в том случае и только потому, что тому и другому присуще тождество с самим собою. Отбросим отличие бытия от небытия, нечему будет и отождествляться. Отбросим тождество бытия и небытия с самим собою, нечему будет и различаться. Это нужно твердо запомнить раз навсегда всякому, желающему разбираться в диалектике сущности: тождество всегда обязательно есть тождество различия (и только различия), тождественно данного где бы то ни было; и различие всегда обязательно есть различие тождества, различно данного где бы то ни было».

Какие комментарии? При условии, что существуют только тождество и различие и ничего более… различие есть различие… истинно то, что различие есть различие… истина есть то, что различие есть различие… истина, т. е. тождество есть то, что различие… тождество есть различие.

А вот что думает Лосев о противоречии [8]:

«Спрашивается: какой же это имеет смысл, как это отражается в сфере сущности? Ясно, что тут не годится ни тождество, ни различие. Категория тождества «отражает» собою то, что бытие просто полагает себя, т. е. себя как себя, а вовсе не себя как не-себя. Различие тоже тут выражает еще далеко не все, так как категория различия переносит в сущность только то, что бытие полагает небытие, или иное себе, а не специально себя как иное себе.

Где же та категория сущности, которая была бы смыслом этого нового положения дела, когда бытие заключается только в полагании себя как не-себя, т. е. в полагании границы, когда акт полагания бытия свидетельствует и о полагании небытия, когда бытие само громко кричит о своем собственном отрицании, о своей собственной границе? Это есть противоречие.

Под противоречием обычно понимается в логике такое отношение между двумя моментами, когда один из них является А, а другой не-А (белый – не-белый, продолговатый – непродолговатый и проч.). Вскрыть смысл этого соотношения было бы очень интересно, но авторы руководств по логике обычно не занимались этим, считая, что это понятно и без всяких разъяснений. Тем не менее дело тут вовсе не в понятности или непонятности. Философ вскрывает смысл именно того, что понятно; и только потому он и может вскрыть смысл предмета, что этот предмет понятен. Если бы он не был понятен, было бы невозможно говорить и об его смысле. Итак, что такое противоречие, всем понятно. Стало быть, законно спросить: а что оно значит? Значит оно вот что.

Когда мы говорим «не-А», мы, прежде всего, как-то полагаем самое А. Но как? Исключительно только в отрицательном смысле, полагаем его небытие. Но и этого мало. Если бы мы просто говорили, что никакого А нет, это еще далеко не значило бы, что мы полагаем не-А. Пусть я говорю, что здесь нет белого цвета. Это еще не значит, что здесь есть что-то не-белое. Это значит только то, что белого цвета здесь нет, и больше ничего. А для противоречия надо, чтобы не только отрицался факт данного А, но и признавался еще некий новый факт или множество фактов, выходящих за пределы отринутого А. Надо, чтобы в то же самое время признавался факт зеленого, синего и проч. цветов. Значит, в противоречии появляется такое небытие, которое есть в то же время и бытие, не просто отсутствие бытия, но присутствие того, что не есть само бытие. Оказывается, бытие полагает себя, но полагает себя не как просто себя (тогда мы говорили бы просто «белое» или «белое есть белое»); и оно полагает небытие, но не как просто небытие (тогда мы говорили бы просто «белого нет»). Оказывается, что бытие полагает себя как иное себе и полагает иное себе в его тождестве с самим собою. Бытие совпало тут с небытием, но, оказывается, само же бытие и произвело это свое совпадение с небытием.