Таблица 3

Какой смысл вложен в определение числа как «различия тождества»? В том-то его и смысл, что, во-первых, быть числом – значит «оставаться тем же самым» и, во-вторых, быть числом – значит различаться по отношению к иным «оставаться тем же самым». P.S. Для множества квадратов «m = {красный квадрат, синий квадрат}» определенной единицей будет – «1 квадрат = {квадрат = квадрат}». Или, в более общем виде (с учетом рисунка 1), для «a = {b, c}; s = {b, p}; m = {a, s} = {{b, c}, {b, p}}» – «1 b = {b = b}».

2.8. Форум. Соболезную

Разговора с математиками об основаниях математики не получилось. Не получилось потому, что выход за пределы соображалки калькулятора самим калькуляторам не под силу, к сожалению. … Для гномиков с математического домика это явилось непреодолимой силой.

Как тут не вспомнить Рассела! Его философское развитие принципов математики [10]: «Теория дескрипций, упомянутая выше, впервые была изложена в моей статье «О денотации» в журнале «Майнд» (1905). Она так поразила тогдашнего редактора журнала, посчитавшего ее нелепой, что он упрашивал меня пересмотреть ее и не настаивать на публикации».

2.9. Диалоги. Из переписки

Здравствуйте, Вячеслав!

Вы написали, что «понятие единицы счета – понятие условное». Не соглашусь. Конечно, единице мы можем сопоставить и яблоко, и кучу яблок. Вместе с тем, мы пользуемся единицей как таковой (без привязки к яблоку или к куче яблок – и то и другое только сопоставляется единице).

Задача как раз и состоит в том, чтобы в определении единицы отразить то общее, что имеется как у того же яблока, так и кучи яблок, и выразить единицу через равенство (высказать о единице истину).

Так вот, в том-то и дело, что «один А – то же самое, что А = А» или «один А – то же самое, что 0 = А – А», где, как уже говорил, вместо А можно подставить как яблоко, так и кучу яблок.

Смысл значка «равно» – оставаться тем же, не изменяться. Когда мы говорим о единице (а не о единице чего-то определенного) мы как раз об этом – «оставаться тем же самым». И нам в этом случае (когда говорим о единице как таковой) не важно, что именно мы считаем (яблоки, вагоны, наборы инструментов и т. д.)

По сути, когда мыслим количество как совокупность единиц, выделяем «то, что не изменяется»: вместо {а, b, с} выделяем существование этих «a, b, c», т. е. {а = а, b = b, c = c}, т. е. {одно а, одно b, одно с}

Здравствуйте, Владимир!

Если я правильно понял, Вы ищите более точное и более общее определение единицы без привлечения материальных, а точнее чувственных образов, чтобы использовать строгое определение единицы в области логических наук?

А именно «…выразить единицу через равенство (высказать о единице истину) …..» «один А – то же самое, что А = А» или «один А – то же самое, что 0 = А – А».С таким определением нельзя не согласиться. Но для того чтобы им пользоваться, оно должно стать признанным в достаточном кругу ученых. А признанным оно станет, если облегчит или повысит доказательность и точность рассуждений, или хотя бы будет более удобным, лаконичным, чем прежнее определение. Я не знаю, какие понятия сейчас общеприняты в науке логики и как новое определение единицы будет этим сообществом восприняты… Мне как физику хочется поискать замену слов «то же самое» исключительно для красивого звучания. Красивые выражения облегчат вхождение в научное сообщество.

Здравствуйте, Вячеслав!

Да, ищу логическое определение единицы. И оно, на мой взгляд, таково: «1 А = {А = А}», где А – все что угодно, например: шарик, куча кирпичей и т. д., а {} – соответствует придаточному предложению (…, что …), совокупности чего-либо.

1 А = {А = А} может быть прочитано как: «Один А суть то, что А существует. Один А то же самое, что А равняется А. Один А есть то, что А остается тем же самым А. Один А это то, что А не изменяется».

Такое определение единицы базируется на понимании понятия «существовать» как «самотождественно», как то, что «не изменяется». Поскольку очень важно для понимания, что существует, а что не существует, … приведу пример.

Допустим, имеется квадрат красного цвета со стороной 10 сантиметров. Пусть «квадрат красного цвета со стороной 10 сантиметров» изменится – станет синим. Перестал ли существовать «квадрат» в этом случае? Нет. А вот «квадрат красного цвета со стороной 10 сантиметров» изменился – перестал существовать. «Квадрат красного цвета со стороной 10 сантиметров» не равен «квадрат синего цвета со стороной 10 сантиметров». А если изменить его сторону – с 10 сантиметров на 15 сантиметров? Квадрат опять не изменится, поскольку квадрат – это прямоугольник с равными сторонами (ромб с прямыми углами). И только изменив, например, его углы (сделав их не 90 градусов), квадрат перестанет существовать.

Математика со времен Рассела говорит о «существовании», как о «хотя бы один». Поэтому «хотя бы один» заменимо на «существовать». Но проблема в том, что со времен же Рассела говорится о «существовании», как не о «самотождественно». Т.е отрицается возможность замены «люди существуют» на «люди самотождественны». Т. е. «люди существуют» не то же самое, что «люди есть люди», что «люди = люди». Сам же Фреге утверждал, что «люди существуют» то же самое, что «люди самотождественны».Что касается трактовки единицы, принятой в математике, то их две: аксиомы Пеано и определение Фреге-Рассела. Но в аксиомах Пеано лишь говорится, что единица существует, но не говорится, что есть единица. А определение Фреге-Рассела не пригодно в том смысле, что не понятно, как именно это определение можно использовать для подсчета чего-то определенного.

Здравствуйте, Владимир! Мне Вы разъяснили и убедили. Правда, в отношении меня всетаки потребовались конкретные примеры. И я бы назвал символьную запись определения единицы «1 А = {А = А}», как короткое обозначение, связывающее весь процесс вывода определения единицы с множеством конкретных примеров в один образ. Как интересно отнесутся к этому корифеи науки логики? Желаю успехов.

Семинар со студентами: бытие и единое.

О бытии. …Стол есть. Окно в аудитории есть. Каждый из вас есть. Если бы стол перестал быть столом, окно в аудитории перестало бы быть окном в аудитории, а каждый из вас перестал бы быть каждым из вас, можно ли было бы тогда сказать, что все это (стол, окно в аудитории, каждый из вас) есть? Так сказать уже нельзя.

Итак, есть – значит быть тем же самым. Но, поскольку слово «есть» не всегда употребляется в значении «то же самое», о «том же самым» буду говорить как о том, что «существует». Итак, стол существует, окно в аудитории существует, каждый из вас существует – означает «стол = стол», «окно в аудитории = окно в аудитории», «вы = вы».

Греческая философия началась именно с этого – с осознания понятия «то, что есть».

Теперь о едином. … Слово стол стоит в единственном числе, как и окно в аудитории. Вместе с тем, в единственном числе употребляется и слово «много». Нельзя же сказать, что один – то же самое, что много!

Что это за преобразование, переводящее все что угодно в одно? Оно в том, что когда мы подчеркиваем, что что-то остается неизменным, то это – одно. Это касается, в том числе и того, что больше одного!

Формально, «1 А = {А = А}», где А – все что угодно, а фигурные скобки соответствуют придаточному предложению, совокупности чего-либо. Например, «1 стол = {стол = стол}, 1 «больше одного» = {больше одного = больше одного}».

«1 А = {А = А}» может быть прочитано как: «Один А есть то, что А существует. Один А – то же самое, что А не изменяется».

Аристотель мыслил единое как то, что нельзя разложить на части. Он ошибался. Единицу можно разложить на 0.7 и 0.3, а один квадрат, например, можно разложить на два прямоугольника или на два треугольника.Платон же утверждал, что если «единое существует», то тогда мы приписываем единице предикат бытия и, следовательно, мыслим уже «два». Но это тоже неверно. Единица существует – то же, что одна единица, а это – единица: «1 единица = {единица = единица}».