В геометрии они знали процедуры, позволявшие найти площади плоских фигур. Многие задачи решались алгебраически. Иррациональные числа, дающие начало бесконечному разложению на десятичные дроби, изображались в цифровой форме путем усечения дробного шестидесятеричного разложения. Например, в десятичной системе счисления в выражении √5 = 2,236067… три точки показывают, что разложение на десятичную дробь продолжается неопределенно долго. Усечение ее до двух десятичных знаков приводит к значению 2,23, хотя значение 2,24 — более точное приближение. Иногда усеченное и наиболее точное приближения дают один и тот же результат, например при усечении до трех десятичных знаков в обоих случаях √5 = 2,236. Записей о каком-либо обсуждении предполагаемой бесконечной природы таких разложений не существует, но на одной табличке изображено очень хорошее приближение √2, которое в шестидесятеричной системе изображается как 1:24,51,10 и соответствует пяти десятичным позициям. Обоснования этого результата не дается, но метод, названный в честь Гирона, греческого математика первого века нашей эры, то есть примененный почти две тысячи лет спустя, приводит к точно такому же результату. Вавилоняне также вовсю использовали теорему Пифагора за тысячу лет до его рождения.

Математика древних вавилонян была сложной и применялась в практических целях — в бухгалтерских и финансовых расчетах, в определении весов и мер. Некоторые из проблем, которыми они занимались, показывают, что существовала также теоретическая традиция, плоды которой можно увидеть в вавилонской астрономии.

Для цивилизации, охватывающей приблизительно четыре тысячи лет, египтяне оставили удивительно мало свидетельств занятий математикой. Папирус — хрупкий материал, и то, что хоть какие-то древние папирусы сумели выжить, — просто чудо. Два главных источника информации известны как папирус Ринда и Московский папирус. Есть также несколько малозначимых документов и множество изображений на могилах и храмах, где можно увидеть коммерческие и административные задачи, решаемые с помощью математических навыков. Папирус Ринда был написан приблизительно в 1650-х годах до нашей эры писцом по имени Ахмес, который объясняет, что он копирует оригинал двухсотлетней давности. Во вступлении сказано, что этот текст — полное исследование всего сущего, прозрение относительно всего существующего, источник знаний обо всех непонятных тайнах. Нам это может показаться скорее преувеличением, но этот документ показывает, что искусство писцов было заповедником просвещенной элиты. В папирусе содержится 87 задач и их решения, он написан знаками повседневного жреческого письма, а не сложными иероглифическими символами, которые выбирались для декоративной письменности. Большинство задач — задачи на вычисления, например задача разделения нескольких ломтей хлеба между определенным числом людей. Есть также метод определения площади прямоугольного треугольника. Все решения проиллюстрированы конкретными примерами, не дается никаких явных общих формул. Московский папирус посвящен практически тем же самым вопросам, но включает также вычисление объема усеченной пирамиды, или усеченного конуса, а также, похоже, площади поверхности полусферы.

В использовании чисел египтянами сразу же выделяются два момента. Прежде всего, вычисления основаны только на сложении и использовании таблицы умножения на два, а также на дробных единицах (1/2,1/3 и т. д.). Умножение, таким образом, состояло в повторяющемся удвоении (и, в случае необходимости, делении пополам), а затем происходило сложение соответствующих промежуточных значений. Например, чтобы умножить 19 на 5, писец должен был написать:

/1 19

2 38

/4 76

Затем, поскольку 1+4 = 5, сложение 19 и 76 дает 95, что соответствует 19 х 5. Деление происходит точно так же, но теперь есть возможность дробного решения. Здесь используются дробные единицы. Египетский способ обозначать долю единицы заключался в рисовании черточки над числом: таким образом, 1/5 писалось как 5. Символа для обозначения нашего числа 2/5 или любой другой дроби, за исключением 2/3, не существовало. Папирус Ринда начинается с таблицы дробей вида 2/n, где n — нечетное число, разложенное на доли единицы. Так, 2/5 равно 1/3 плюс 1/15, и во всех случаях, когда задача имела решением число, которое мы записываем как 2/5, египетские писцы записали бы его как 3¯ 15¯. Все еще трудно понять, как эта схема функционировала на практике, хотя она явно срабатывала, и мы ждем дальнейших открытий, позволяющих разъяснить ее происхождение.

Одна из причин использования такой системы заключается в том, что при числовых расчетах, связанных с разделением наследства или распределением благ, использовались дробные единицы, поскольку они точнее, чем самое близкое приближение. У египтян не было никакой валюты, так что они совершали сделки, используя в качестве эквивалента другие товары, чаще всего хлеб и пиво. Это отлично видно в задаче из папируса Ринда о том, как разделить девять хлебов на десять едоков. Сейчас мы вычислили бы, что каждый получит по 9/10 хлеба, и распределили бы хлебы, отрезав от каждого по одной десятой доле, чтобы девять человек получили бы по одному неполному хлебу — по 9/10 буханки, а десятый — девять отрезанных ломтей по 1/10. Решение, приведенное в папирусе: 9/10 = 2/3 + 1/5 + 1/30. Такое деление потребует больше надрезов, зато каждый человек получит не просто равное количество хлеба, но и одинаковые куски.

Меры объема имели свои собственные обозначения, составленные из частей иероглифа, изображавшего око Гора. Здесь заметна двойная функция жречества — административная и религиозная. Гор — бог-сокол, и его глаз отчасти человеческий, отчасти соколиный. Каждый элемент иероглифа представлял дробь от 1/2 до 1/64, а сочетания этих элементов могли отобразить любое число долей 1/64. Но око Гора также имело мистическое значение. Этот бог, единственный сын Изиды и Осириса, поклялся мстить за смерть своего отца, убитого собственным братом Сетом. Во время одного из бесчисленных сражений Сет вырвал у Гора око, разорвал его на шесть частей и разбросал по всему Египту. Гор в ответ оскопил Сета. Согласно легенде, боги, вмешавшись, провозгласили Гора царем Египта, богом-опекуном фараонов. Кроме того, они велели Тоту, богу образования и магии, собрать око Гора. Таким образом глаз стал символом цельности, ясновидения, изобилия и плодородия. Писцы, чьим покровителем был Тот, использовали его как талисман, символизировавший дробные меры. Существует рассказ о том, как ученик писца однажды заметил своему учителю: все доли ока Гора составляют в целом не единицу, а скорее 63/64. Учитель ответил, что Тот вознаграждает недостающей 1/64 того писца, который добивался покровительства бога и принял его.

Наши знания о египетской математике ограничены ввиду недостаточного числа артефактов. В результате она кажется шагом назад по сравнению с уровнем, которого достигли вавилоняне. Но скорее всего, это неправильно, особенно учитывая точность, с которой египтяне строили пирамиды и управляли такой обширной империей. До нас дошли лишь обрывки свидетельств, позволяющие предположить, что они добились важных результатов. Например, вполне вероятно, что они могли вычислить объем усеченной пирамиды. Однако по-прежнему неясно, что это за результат — отдельный, вдохновленный интересом к пирамидам, или же часть более передовой, но, к сожалению, не дошедшей до нас совокупности знаний. Древние греки открыто признавали, что их математика, в особенности геометрия, уходит корнями в египетские знания. Но сейчас нас больше всего поражает не сходство между египетской и греческой математикой, а огромные различия в способе выражения и глубине их знаний. Похоже, «трудные тайны» Ахмеса и сегодня остаются неразгаданными.