Первые Олимпийские игры проводились в 776 году до нашей эры. К этому времени греческая литература могла похвастаться произведениями Гомера и Гесиода, но о математиках, творивших ранее VI века до нашей эры, мы ничего не знаем. Титул первого греческого математика, по-видимому, следует присудить Фалесу Милетскому (640/624–548/545 до н. э.) — предполагается, что именно он привел первые описания различных геометрических теорем, ставших прообразом великой дедуктивной системы Евклида. Но наши знания о греческой математике и вообще об этом периоде основываются по большей части на исторических слухах. Мало того что сочинения того времени до нас не дошли, мы вынуждены полагаться на комментарии, сделанные спустя тысячу лет после описываемых в них событий.
В IV веке до нашей эры, после основания Академии Платона, а позже Лицея его бывшего ученика, Аристотеля, Афины стали считаться центром средиземноморского интеллектуального мира. Роль Платона в истории математики — все еще тема жарких дебатов. От него не осталось никаких собственноручно написанных формальных математических сочинений, но он оказал сильное влияние на философию математики. В своем диалоге «Республика» он утверждал, что математика должна быть одной из основных наук, изучаемых будущими правителями, а в диалоге «Тимей» мы видим своего рода преобразованное пифагорейство плюс Платоновы тела, связанные с четырьмя стихиями, и додекаэдр как символ цельной Вселенной. Влияние философии Аристотеля было для математики не особенно полезным. То, что он требовал логики, имело положительный эффект, но отказ принять бесконечность и бесконечно малые величины, а также вера в то, что совершенное движение происходит по окружности и прямым линиям, поскольку это идеальные фигуры, пользы не принесли.
Академия и Лицей были и важными центрами математического образования и исследований. Аристотель был наставником Александра Великого, управлявшего империей, которая в период расцвета простиралась аж до Северной Индии. После смерти Александра обширное государство между собой поделили его враждовавшие друг с другом генералы. Но в одном из осколков огромной империи во времена просвещенного правления Птолемея I возник научный центр — новый город, Александрия, с ее Музеем и драгоценной Библиотекой. Во второй период классической эпохи Древней Греции, известный как Золотой век греческой математики, Александрия в значительной степени затмила Афины.
Самый выдающийся труд в греческой математике — это, несомненно, «Начала» Евклида (ок. 325–265 до н. э.). Несмотря на такую известность, о жизни математика известно очень немногое. Неясным остается даже место его рождения. Из текста более позднего комментатора Прокла Диадоха известно, что Евклид учился в Александрии во времена правления Птолемея. Когда царь спросил, как побыстрее изучить геометрию, Евклид ответил, что «не существует царского пути к геометрии». Известность «Начал» порой затмевала тот факт, что Евклид написал множество других работ, посвященных оптике, астрономии, механике и музыке. Но «Начала» стали стандартным учебником по геометрии, изучавшимся в течение многих последующих столетий. Он был настолько полным, что все предшествовавшие книги оказались избыточными, и их копий не сохранилось. Как и в случае многих других учебников, большая часть «Начал» — не оригинальная работа Евклида, но именно его мы должны благодарить за сведение результатов множества других источников и написание стройного труда, который стал общепринятой моделью логической, дедуктивной системы теорем и доказательств. «Начала» — это не краткое изложение всей греческой математики, в сочинении описаны только основы. В него не включены вычисления и многие более сложные математические задачи, такие, как конические сечения.
«Начала» состоят из 13 книг. В них охвачены вопросы планиметрии и стереометрии, теория чисел и теория непропорциональности. Книга начинается со списка, состоящего из 23 определений, например «точка — это то, что не делится на части», «линия — это длина без ширины». Затем следует пять аксиом и пять «общих понятий». У печально известного пятого постулата своя история. Фактически, каждый раздел книги открывается дальнейшими определениями, необходимыми для новых тем, которые рассматриваются в той или иной главе. Для Евклида определения были более очевидны, чем постулаты, хотя мы рассматриваем их одинаково — как аксиомы. Постулаты обычно описывают некое действие, например «от всякой точки ко всякой точке можно провести прямую», тогда как четвертое определение утверждает: «прямая линия есть та, которая ровно лежит на всех своих точках». В целом геометрия здесь сводится до методов построений с применением линейки и циркуля. Эти два простых инструмента послужили логическими генераторами целой системы. Круг и прямая считались самыми совершенными фигурами. Греки использовали и другие, так называемые «механические» методы построений, но в «Началах» они не описываются.
В книгах с первой по четвертую речь идет о построении плоскостных геометрических фигур, включая четырехугольники, треугольники, круги и многоугольники, созданные при помощи кругов. Утверждалось, что в некоторых книгах, особенно во второй, содержится намек на своего рода алгебраическую геометрию, где геометрические построения служат той же цели, что и алгебраические манипуляции. Независимо от того, верно это или нет, кажется, по крайней мере в ранних теоремах Евклид интересуется исключительно геометрическими понятиями. Термин «величина» используется для обозначения любого геометрического объекта — отрезка или фигуры, а теоремы связаны с построениями и выяснением отношений между этими величинами. В этом труде нет отсылок к числовым понятиям вроде длины; таким образом, например, квадрат рассматривается как геометрическое пострπоение, проистекающее из отрезка. Евклид нигде не заявляет, что площадь такого квадрата есть произведение его сторон, — это определение возникнет намного позже. Таким образом, величины — самое элементарное понятие в «Началах», фундамент, на котором построена остальная часть работы. В этом контексте интересно заметить, что доказательство теоремы Пифагора выполняется путем построений, в то время как обращение к фактическим площадям, возможно, привело бы к совершенно иной форме доказательства.
В пятой книге изложена общая теория пропорций, в том виде, в каком ее первоначально изложил Евдокс. Член Академии Платона, Евдокс Книдский (ок. 408 — ок. 355 до н. э.) был одним из известнейших математиков своего времени. Ему приписывают два фундаментальных открытия: теорию отношений и метод исчерпывания. Выход из очевидного кризиса несоизмеримостей был найден в значительной степени благодаря возможности манипулировать их произведениями и отношениями посредством отношений Евдокса. Евклид фактически цитирует множество различных правил для составления отношений и условий их использования. Предпочтение отношений по сравнению с дробями давало некоторые преимущества. Теперь можно было сформулировать правило вроде: «отношение площадей кругов пропорционально отношению квадратов их диаметров» и использовать его для доказательства самых разных теорем, не применяя иррациональное число π. Кроме того, отношение величин одного и того же типа не имеет размерности и может быть сопоставлено с другими отношениями, как показано в примере, приведенном выше. Таким образом, отношение стало основополагающей связью между величинами, и теория Евдокса позволила сравнивать различные отношения. В шестой книге «Начал» описаны правила работы с подобными фигурами. Там содержится обобщение теоремы Пифагора, не ограниченной квадратами сторон треугольника. Теорема была расширена таким образом, что ее можно было использовать для любой построенной фигуры. Таким образом, если мы строим полукруги, диаметры которых равны катетам треугольника, тогда сумма площадей двух меньших полукругов равна площади большего.
Теория чисел рассматривается в седьмой, восьмой и девятой книгах. У Евклида словом «числа» обозначались только целые величины. Определения в седьмой книге показывают, что работа с числами воспринималась в основном в геометрическом контексте. Евклид говорит, что «кратное число — большее от меньшего, если оно измеряется меньшим», а произведение двух чисел — площадь прямоугольника. Есть также знаменитое правило, известное как «Евклидов алгоритм», позволяющее найти наибольший общий множитель двух величин, или, по словам Евклида, «наибольшую общую меру между двумя величинами». В девятой книге мы находим известное доказательство, которое, говоря современным языком, утверждает существование бесконечного числа простых чисел. Евклид отчетливо избегает упоминания бесконечности. Он заявляет, что «простых чисел больше любого наперед заданного количества» (иными словами, мы можем выбрать любое число, и простых чисел будет все равно больше, чем это число), и переходит к доказательству этого тезиса, взяв три конкретных простых числа, лишь подразумевая, что решение будет таким же для «любого наперед заданного количества». В этой книге также приведено правило построения совершенных чисел. Совершенное число — это число, сумма множителей которого равна самому этому числу. Первое совершенное число — 6, второе — 28 (его множители — 1, 2, 4, 7 и 14, сумма которых равна 28).