Более того, даже в обычной механике «изгнать» трехмерность пространства далеко не просто. Например, используя при решении задачи принцип наименьшего действия, мы сравниваем действие вдоль всех возможных траекторий. При этом, разумеется, немаловажную роль играет выбор класса допустимых траекторий. Разрешив сравнивать траектории, выходящие за пределы трехмерного пространства, мы будем вынуждены приписать такому расширению нашего мира конкретные физические свойства, например высказать какие-то утверждения о скорости распространения света, характере полей и т. п. вдоль четвертого измерения, ибо в противном случае любая «волновая задача» утратит смысл. Следовательно, если бы наш трехмерный мир был вложен в четырехмерное пространство (подчеркнем, что речь идет не о четырехмерном пространстве — времени, а о четырех пространственных измерениях!), то физические свойства четвертого измерения мы могли бы изучить, оставаясь в своем трехмерном пространстве. Справедливость законов волновой механики и термодинамики убедительно свидетельствует о том, что наш мир истинно трехмерен. Аналогичным образом мог бы узнать о размерности того пространства, к которому он прикован по воле авторов «Флатландии» и «Сферландии», и обитатель двумерного мира.

Быть может, сын или внук Шестиугольника еще напишут о тех изменениях во взглядах на структуру пространства, которые произошли в Сферландии при жизни их поколения.

Более традиционному комбинаторному изложению первоначальных сведений из геометрии четырехмерного пространства посвящены очерки, составляющие дополнение к «Флатландии» и «Сферландии». Их авторы — участники и один из арбитров (профессор Генри Мэннинг) конкурса на лучшую популярную работу о четвертом измерении, проведенного в 1910 г. редакцией журнала Scientific American. В конкурсе приняли участие 245 авторов из разных стран мира: США, Турции, Австрии, Голландии, Индии, Австралии, Германии. Победителем стал американец Грэхэм Денби Фитч. По просьбе редакции Scientific American он написал (уже вне конкурса) также вторую статью «Неевклидова геометрия и четвертое измерение». Сборник работ, представленных на этот конкурс, впервые вышел в 1910 г. под названием «Простое объяснение четвертого измерения» и был переиздан в 1960 г.

Читателям предстоит проделать немалое путешествие по просторам Флатландии и Сферландии, и нам не хотелось бы задерживать их на самом пороге удивительных приключений. Поэтому мы закончим свое напутствие словами известного венгерского математика Ласло Фейеша Тота: необходимо «создавать бесконечное множество новых миров, законы которых можно постичь, хотя нога человека никогда не оставит на них следа».

Ю. Данилов

Я. Смородинский

Если бы мой несчастный флатландский друг сохранил остроту ума, которой обладал, приступая к работе над своими мемуарами, мне не пришлось бы писать вместо него это предисловие. Мой друг просил меня, во‐первых, поблагодарить читателей и критиков из Трехмерия, чья неожиданно высокая оценка привела ко второму изданию его труда, во‐вторых, принести свои извинения за некоторые ошибки и опечатки (впрочем, ответственность за них лежит не только на нем) и, в‐третьих, объяснить отдельные трудные места. Но ныне он не тот Квадрат, каким был прежде. Годы заключения и тяжкий груз всеобщего недоверия и насмешек вместе с естественным упадком сил, вызванным его преклонным возрастом, стерли из памяти многие идеи, понятия, терминологию, приобретенные им во время кратковременного пребывания в Трехмерии. Учитывая это, автор просил меня от его имени ответить на два возражения, одно из которых чисто умозрительного, а другое — морального характера.

Первое возражение вызвано тем, что флатландцы, глядя на Отрезок прямой, видят нечто, обладающее не только длиной, но и толщиной (ибо Отрезок не был бы виден, если бы не обладал некоторой толщиной). Следовательно, заключают критики, флатландец не может не признать, что его соотечественники обладают не только длиной и шириной, но и некоторой, хотя и весьма малой, толщиной, или высотой. Это возражение на первый взгляд кажется настолько убедительным (а для жителя Трехмерия почти неопровержимым), что, впервые услышав его, я попросту лишился дара речи. Но, я думаю, ответ моего старого бедного друга полностью устраняет сомнения.

— Я не отрицаю, — заявил Квадрат по этому поводу, — достоверности тех фактов, на которые ссылается критик, но не могу согласиться со сделанным им выводом. Мы, обитатели Флатландии, действительно обладаем Третьим, не известным нам Измерением, называемым «высотой», так же, как вы, обитатели Трехмерия, обладаете Четвертым, не известным вам Измерением, не получившим пока еще особого названия. Я назову его гипервысотой. Но мы, флатландцы, способны воспринимать нашу «высоту» ничуть не в большей степени, чем вы, обитатели Трехмерия, свою «гипервысоту». Даже я, единственный флатландец, побывавший в Трехмерии и удостоенный привилегии в течение двадцати четырех часов воочию постигать сокровенный смысл понятия «высота», повторяю, даже я перестал теперь понимать, что это такое, и не могу более ни наглядно представить себе высоту, ни тем более доказать ее существование. Мне остается лишь одно: принять существование высоты на веру.

Причина моих затруднений очевидна. Каждое пространственное измерение подразумевает некое направление, означает возможность указывать размеры тел вдоль этого направления, возможность отличать большие тела от меньших. В то же время все Отрезки, наблюдаемые нами во Флатландии, имеют одинаковую исчезающе малую толщину (или, если угодно, высоту) и, следовательно, не содержат в себе ничего такого, что бы рождало в наших умах представление об этом Измерении. Никакой «сверхчувствительный микрометр» (им предложил воспользоваться один излишне торопливый критик из Трехмерия) не принес бы нам ни малейшей пользы, ибо мы не знали бы ни того, что следует измерять, ни того, в каком направлении это надо делать. Когда мы видим Отрезок прямой, мы видим нечто длинное и светящееся. Светимость, так же как и длина, необходима для его существования. Отрезок, который перестает светиться, погибает. Именно поэтому все мои флатландские друзья, когда я заводил с ними разговор о неизвестном нам Измерении, каким‐то образом проявляющемся в Отрезке, заявляли: «Вы, должно быть, имеете в виду яркость». Если я отвечал им, что имею в виду реальное Измерение, то они возражали: «Реальное Измерение? Тогда укажите нам размеры Отрезка вдоль этого измерения или сообщите, в каком направлении оно простирается». Это заставляло меня умолкнуть, поскольку я не мог сделать ни того, ни другого, Не далее как вчера, когда Верховная Окружность (иначе говоря, наш Высший Жрец), прибыв с инспекцией, совершаемой ею раз в году, в государственную тюрьму, нанесла мне седьмой визит и в седьмой раз спросила: «Так ли я высока, как прежде?», я попытался убедить ее в том, что она, сама того не ведая, обладает высотой, а не только длиной и шириной. И каков же был ее ответ? «Вы говорите, что я «высока». Измерьте мою высоту, и я поверю вам». Что мне оставалось делать? Как мне было ответить на вызов Верховной Окружности? Я был подавлен, а она, торжествуя, покинула мою камеру.