Может быть, вслед за пребыванием в Кирене последовал переезд Платона в Южную Италию, так называемую Великую Грецию. Здесь было много основанных греками городов. Большим успехом пользовалось учение пифагорейцев. Одной из задач Платона в его путешествии в Италию было ознакомление с этим учением, в особенности с результатами математических исследований учеников Пифагора. В это время центром деятельности пифагорейцев был Тарент. Крупнейшей умственной силой Тарента был тогда пифагореец Архит, государственный деятель, стратег и ученый: математик, физик, механик.
На Платона личность Архита произвела глубокое впечатление. Он ценил в Архите сочетание политической и научной деятельности в одном лице не меньше, чем его научные достижения.
За периодом пребывания в Южной Италии последовал переезд Платона в Сицилию. На побережье этого большого острова греки утвердились давно. В начале IV в. до н. э. в греческих городах сицилийского побережья боролись между собой политические силы так называемой тирании, представлявшей переходную форму от господства старой аристократии к господству рабовладельческого «демоса» («народа»), и силы демократии. Крупнейшим в то время городом не только в греческой Италии, но и во всем греческом мире были Сиракузы. Это был значительный политический и блестящий культурный центр. Сиракузские правители призывали к своему двору выдающихся поэтов, музыкантов, живописцев, строителей. Власть в Сиракузах в то время принадлежала энергичному и властолюбивому тирану Дионисию. Благодаря энергии и целеустремленности он в течение 38 лет удерживал в своей власти город-государство, в котором не утихало пламя классовой борьбы и борьбы партий. При дворе Дионисия развилось искусство мимов, у которых Платон, быть может, учился мастерству индивидуальной характеристики персонажей своих диалогов. Здесь же Платон наблюдал искусство, с каким мимический поэт Софрон вводил в свои произведения персонажи древних мифов, а также знакомился со сценками сатирического поэта Эпихарма, осмеивавшего парадоксы гераклитовского учения о непрерывном потоке становления.
Во время пребывания в Сиракузах Платон сблизился с родственником тирана, Дионом. Но Дионисий наблюдал с неудовольствием и даже с некоторой опаской за усиливавшимся влиянием Платона и его идей на Диона. Платон вынужден был покинуть Сиракузы, однако по пути в Афины был высажен в Эгине, которая находилась тогда в острой вражде с Афинами. Платону грозило обращение в рабство, но, к счастью для него, в это время в Эгину прибыл из Кирены Анникерид, с которым Платон познакомился во время своего пребывания в его стране. Анникерид помог через друзей Платона в Афинах организовать выкуп философа и добился его освобождения.
В 387 г. до н. э., в сорокалетнем возрасте — в том самом, какой греки считали временем расцвета, или «акмэ» (acme), человека, — Платон вернулся в Афины. По прибытии он основал на краю Афин, в роще героя Академа свою школу, получившую название Академии. Вскоре вокруг Платона собрались ученики. Часть из них пришла в Академию для изучения наук, и прежде всего математики. Уже для принятия в школу требовались определенные математические знания. Математика была в Академии не только научной пропедевтикой, но и важным предметом научных исследований, проводившихся учеными школы. Школа Платона — эпоха в истории античной математики. Знаменитый современный алгебраист и историк древней математики Ван дер Варден, автор прекрасного труда «Пробуждающаяся наука», называет весь период развития древнегреческой математики от Архита Тарентского до Евклида включительно «веком Платона» (10, стр. 205).
В своей математике Платон развивал взгляды, характерные для его идеалистического учения о различии между чувственными вещами и их идеальными прообразами. В математике, думал он, точные выводы возможны не по отношению к чувственно воспринимаемым вещам, а только по отношению к идеальным предметам. Хотя математики пользуются чувственно воспринимаемыми фигурами и рассуждают о них, однако думают не о них, а о вещах, образом которых они являются; «доказательство они ведут для квадрата и диагонали в самой их сущности, но не для начерченных фигур… они именно и пытаются уяснить то, что можно видеть только умственными очами» (Государство, VI, 510 D).
Взгляд Платона на математику, конечно, есть идеализм. Но, как всякое крупное идеалистическое построение, он имеет гносеологический корень. В данном случае это необходимость для математической науки в переходе от непосредственного чувственного созерцания математических объектов к более высокой ступени абстракции. Так, при доказательстве несоизмеримости стороны квадрата с его диагональю нельзя ограничиться эмлирическим измерением прямолинейных отрезков: вопрос о том, имеют ли они общую меру или нет, лишен смысла, так как, например, ширина волоса уложится целое число раз в любом начерченном отрезке. «Вопрос о соизмеримости имеет смысл только для отрезков, создаваемых мыслью» (10, стр. 201).
Из математики Платон заимствовал свой метод доказательства при помощи приведения к абсурду, т. е. при помощи опровержения принятых гипотез (24). Этот метод основывался на мысли, что чувственно воспринимаемые вещи изменчивы и противоречивы. Напротив, истинное бытие не может обладать взаимно противоречащими свойствами.
К школе Платона примкнули крупнейшие математики его века. Список их сообщает Прокл в своем «Каталоге». Самыми выдающимися из них были Архит из Тарента, Теэтет и Евдокс. Из них Архит первый ввел Платона в круг проблем математики. Он же познакомил Платона с философией пифагорейцев. Теэтет и Евдокс были учителями Платона в области математики, но они же были его учениками в философии. Все они были его друзьями. В конце IV в. до н. э. результаты математики, добытые ее развитием в школе Платона, были собраны в трудах Евклида, прежде всего в его «Началах». По сообщению Прокла, Евклид сам был выучеником платоновской школы. В «Началах» Евклида, а также в его «Теории гармонии» и «Явлениях» излагаются как раз те четыре науки, которые Платон рекомендовал в своем «Государстве» в качестве философской пропедевтики. Эти науки — арифметика, геометрия, теория гармонии и астрономия. Сами «Начала» Евклида, по-видимому, продолжение традиции, основы которой были заложены примыкавшими к школе Платона авторами «Начал», предшествовавших евклидовским, математиками Гиппократом, Леонтием и Февдием.
Объем математических исследований, проведенных в школе Платона математиками — последователями философии Платона, был велик. Поразительно разнообразна деятельность Архита. С помощью остроумнейшего построения Архит решил так называемую делийскую задачу об удвоении куба. В связи со своей музыкальной теорией он доказал несколько теорем, относящихся к пропорциональности чисел. В сущности вся VIII книга «Начал» Евклида, излагающая арифметическую теорию непрерывных пропорций и теорию подобных чисел, — произведение Архита. Птоломей считает Архита самым крупным пифагорейским теоретиком музыки. Архит дал теоретическое обоснование той музыкальной теории, которая излагается в труде Евклида «Canonis». Велики его заслуги также в разработке механики. Диоген Лаэрций сообщает, что Архит первый разработал систематически механику на основе математики. Он не только писал о машинах, но был также конструктором машин. В частности, ему приписывают изобретение летающего деревянного голубя.
К «веку Платона» относится также деятельность Теэтета и Евдокса. Блестяще одаренный творческий математический ум, безупречный логик в разработке математических проблем, Теэтет был выведен Платоном в одноименном диалоге. В нем формулируется результат, который подробнее был развит в Х книге «Начал» Евклида и который дал возможность представить геометрическое понятие о соизмеримости сторон как арифметическое свойство чисел, измеряющих площади квадратов. Ван дер Варден убедительно обосновал предположение, что в основе Х и XIII книг Евклида лежит труд Теэтета.
Еще более крупным деятелем науки был Евдокс из Книда. Это был разносторонний ученый: математик, астроном, медик, философ, географ. В астрономии он прославился, предложив математическое решение задачи, поставленной Платоном: при помощи каких равномерных круговых движений можно объяснить видимые движения планет относительно неподвижных звезд на небесном своде? Евдокс придумал замечательную по остроумию и изобретательности модель солнечной системы, исходя в качестве основного допущения из гипотезы о шаровидной Земле как о неподвижном центре, вокруг которого движутся 27 концентрических сфер. Из них внешняя — сфера неподвижных звезд, а остальные вводятся для объяснения движения Солнца, Луны и пяти известных в то время планет.