И тем не менее формула Тартальи привела Кардано именно к таким выражениям. В особенности тревожил его тот факт, что в случаях, когда было известно решение, полученное каким-то другим способом, формула как будто отказывалась его воспроизводить.

В 1539 году обеспокоенный Кардано решил обсудить вопрос с Тартальей: «Я обратился с вопросом о решении различных проблем, на которые вы не дали мне ответа; одна из них — задача о кубе, равном неизвестному плюс число. Я, без сомнения, уловил правило, но когда куб одной трети коэффициента при неизвестном превосходит квадрат половины числа, тогда, как кажется, я не могу с помощью этого правила удовлетворить мое уравнение».

Здесь Кардано в точности описывает условие, когда квадратный корень оказывается корнем из отрицательного числа. Ясно, что он превосходно ухватил всю суть вопроса и обнаружил подводный камень. Менее ясно, достиг ли Тарталья того же уровня понимания своей собственной формулы, потому что ответ его сводился к следующему: «Вы не владеете настоящим способом решения задач этого типа…. Ваши методы целиком неправильны». Возможно, Тарталья намеренно отказывал Кардано в помощи. А может быть, он просто не понимал, о чем тот говорит. Как бы то ни было, Кардано смог разглядеть трудный вопрос, которому предстояло занимать умы математиков всего мира в течение последующих 250 лет.

Даже во времена Возрождения проскальзывали намеки, что здесь происходит нечто важное. Тот же вопрос возник в другой задаче, обсуждавшейся в «Великом искусстве», — найти два числа, сумма которых равна 10, а произведение равно 40. Получалось «решение» 5 + √−15 и 5 − √−15. Кардано заметил, что если не обращать внимания на вопрос о том, что же означает квадратный корень из минус пятнадцати, а просто делать вид, что перед нами обычный квадратный корень, то удается проверить, что эти «числа» действительно удовлетворяют требуемому уравнению. При их сложении друг с другом квадратные корни сокращаются, а две остающиеся пятерки складываются в число 10, как того и требовало условие задачи. При умножении же получается 25 − (√−15)², что равно 25 + 15, т.е. 40. Кардано не знал, как понять эти странные вычисления. «Таковы, — писал он, — пути арифметической изысканности, приводящей в конце концов к вещам столь же изощренным, сколь и бесполезным».

В своей «Алгебре» 1572 года Рафаэле Бомбелли — сын болонского торговца шерстью — заметил, что подобные же вычисления, в которых с «мнимыми» корнями обращаются так, как если бы они были настоящими числами, позволяют преобразовать таинственную формулу для решения озадачившего Кардано кубического уравнения в правильный ответ x = 4. Книгу он написал, чтобы занять свободное время, образовавшееся у него, пока он руководил осушением болот для Апостольской палаты — папского юридического и финансового ведомства. Бомбелли заметил, что

и

так что сумма двух странных кубических корней принимает вид

что равно 4. Бессмысленный корень каким-то образом оказался осмысленным и привел к правильному ответу. Бомбелли, возможно, был первым математиком, кто понял, что можно выполнять алгебраические действия с квадратными корнями из отрицательных чисел и получать при этом осмысленные ответы. Это недвусмысленно намекало, что таким числам можно дать разумную интерпретацию, но у Бомбелли не было указаний на то, какую именно.

Математической вершиной книги Кардано была не кубика, а квартика. Его ученик Феррари сумел перенести методы Тартальи и дель Ферро на уравнения, содержащие четвертую степень неизвестного. Формула Феррари включает только квадратные и кубические корни — корни четвертой степени не нужны, поскольку такой корень есть просто квадратный корень квадратного корня.

«Великое искусство» не содержит решения квинтики — уравнения, в котором неизвестное появляется в пятой степени. Но ведь по мере возрастания степени уравнения метод его решения в свою очередь усложнялся, так что мало кто сомневался, что, применив достаточную изобретательность, можно будет решить и уравнение пятой степени — скорее всего, потребуется использовать корни пятой степени, так что соответствующая формула окажется весьма громоздкой.

Кардано не стал тратить время на поиски такого решения. После 1539 года он вернулся к другим своим многочисленным занятиям, в особенности к медицине. В это время его семейная жизнь начала рушиться самым ужасающим образом: «Мой [младший] сын между днем своей женитьбы и днем своего рокового конца был арестован по обвинению в попытке отравления собственной жены, пока она еще оправлялась после родов. В 17-й день февраля он был задержан, а пятьдесят три дня спустя, 13 апреля, обезглавлен в тюрьме». Кардано пытался примириться с этой трагедией, но беда не приходит одна. «Наш дом — мой дом — на протяжении нескольких дней стал свидетелем трех похорон: моего сына, маленькой внучки Диареджины и кормилицы; мой новорожденный внук также был недалек от смерти». При всем этом в силу своей природы Кардано был неисправимым оптимистом: «Тем не менее во мне еще так много благодати, что, если бы она принадлежала кому-то другому, тот бы считал себя счастливчиком».

Какую дорогу избрать? Какой предмет изучать? Ему нравились оба, но пришло время выбирать — ужасная дилемма. На дворе был 1796 год, а блестящий 19-летний юноша стоял перед решением, которому предстояло определить его дальнейшую жизнь. Настал момент определиться насчет жизненного пути. Карл Фридрих Гаусс происходил из обыкновенной семьи, но знал, что ему уготовано величие. Его способности были очевидны для всех, включая герцога Брауншвейгского — суверена той области, где Гаусс родился и где жила его семья. Проблема состояла в том, что способностей у него было слишком много, и сейчас предстояло выбрать между двумя пристрастиями — математикой и филологией.

Однако 30 марта все решилось помимо его воли, само собой, как результат любопытного, замечательного и совершенно беспрецедентного открытия. В тот день Гаусс нашел эвклидово построение правильного многоугольника с семнадцатью сторонами.

Это может звучать как нечто понятное лишь посвященным, но у Эвклида не было и намека на это построение. Несложно найти способы построения правильных многоугольников с тремя, четырьмя, пятью или шестью сторонами. Можно соединить конструкции для треугольника и пятиугольника и получить таким образом многоугольник с пятнадцатью сторонами, можно удваивать число сторон, что даст восемь, десять, двенадцать, шестнадцать, двадцать…

Но семнадцать сторон не лезли ни в какие ворота. Однако же построение его было верным, и Гаусс абсолютно точно знал почему. Все сводилось к двум очевидным свойствам числа 17. Это число простое: оно делится нацело только само на себя и на 1. Кроме того, оно на единицу превосходит степень двойки: 17 = 16 + 1 = 2⁴ + 1.

Если бы вы были гением, как Гаусс, вам было бы понятно, почему из этих двух непритязательных утверждений следует, что существует построение правильного семнадцатиугольника с помощью циркуля и линейки. Если бы вы были любым другим из великих математиков, живших между 500 годом до Р.Х. и 1796 годом, вы бы даже не заподозрили наличия здесь связи. Мы знаем об этом потому, что они действительно ничего такого не заподозрили.

Если Гаусс и нуждался в каком-либо подтверждении своего математического таланта, то он определенно такое подтверждение получил. И решил стать математиком.

Семья Гауссов перебралась в Брауншвейг в 1740 году, когда дед Карла устроился там садовником. Один из трех его сыновей, Гебхард Дитрих Гаусс, также стал садовником, время от времени подрабатывая то тут, то там — например, на кладке кирпича или прокладке каналов; иногда он выполнял работу «фонтанных дел мастера», а также помогал купцам и был казначеем небольшой похоронной кассы. Все более прибыльные профессии конвоировались гильдиями, и чужакам — даже чужакам во втором поколении — доступа туда не было. Гебхард женился во второй раз в 1776 году на Доротее Бенце — дочери каменщика, работавшей прислугой. Их сын Иоганн Фридерих Карл (сам себя всегда называвший Карлом Фридрихом) родился в 1777 году.