Приблизительно в то время математики постепенно подходили к осознанию того факта, что, хотя комплексные числа кажутся искусственным образованием, а их интерпретация туманна, использование их намного упрощает алгебру, позволяя решать уравнения единообразным способом. Изящество и простота — пробный камень математики, и новаторские концепции, сколь бы странными они сначала ни казались, имеют тенденцию в конце концов брать верх, если они способствуют сохранению изящества и простоты предмета.

Если работать только с традиционными «вещественными» числами, то уравнения ведут себя раздражающе беспорядочным образом. Уравнение x² − 2 = 0 имеет два решения — плюс или минус квадратный корень из двух, — но очень похожее уравнение x² + 1 = 0 вообще не имеет решений. Однако это уравнение имеет два решения в комплексных числах: i и −i. Символ i для обозначения √−1 был введен Эйлером в 1777 году, но появился в печати лишь в 1794-м. Теорию, выраженную лишь в терминах «вещественных» уравнений, загромождают исключения и необходимость педантичного разграничения различных случаев. Аналогичная теория комплексных уравнений оставляет в стороне все эти сложности за счет того, что с самого начала предлагается купить оптом одно-единственное усложнение — позволить комплексным числам появляться наравне с вещественными.

К 1750 году идеи, вызванные к жизни итальянскими математиками эпохи Возрождения, достигли зрелости и замкнутости. Предложенные методы решения кубики и квартики воспринимались как естественные обобщения вавилонского решения квадратных уравнений. В достаточных подробностях была разработана связь между радикалами и комплексными числами, причем было осознано, что в этом расширении обычной числовой системы у числа имеется не один кубический корень, а три; не один корень четвертой степени, а четыре; не один корень пятой степени, а пять. Ключом к пониманию того, откуда берутся эти новые корни, стало прекрасное свойство «корней из единицы», то есть корней n-й степени из числа 1. Эти корни образуют вершины правильного n-угольника в комплексной плоскости[19], одна вершина которого лежит в точке 1. Остальные корни из единицы располагаются на равных расстояниях вдоль окружности единичного радиуса с центром в точке 0. На рисунке показано расположение корней пятой степени из единицы.

В более общем виде, если дан любой конкретный корень пятой степени из некоторого числа, то можно получить еще четыре, умножая его на q, q², q³ и q⁴[20]. Эти числа также располагаются по окружности с центром в 0. Например, корни пятой степени из 2 показаны на рисунке справа.

Все это очень мило, но здесь же содержится намек на нечто гораздо более глубокое. Корни пятой степени из 2 можно рассматривать как решения уравнения x⁵ = 2. Это уравнение пятой степени, и у него пять комплексных решений, причем только одно из них вещественно. Аналогичным образом уравнение x⁴ = 2 имеет четыре решения (все корни четвертой степени из 2), уравнение на корни 17-й степени из 2 имеет 17 решений и так далее. Не обязательно быть гением, чтобы подметить правило: число решений равно степени уравнения.

То же самое, как представлялось, выполняется не только для уравнений на корни п-й степени, но и вообще для любого алгебраического уравнения. Математики пребывали в убеждении, что в области комплексных чисел каждое уравнение имеет ровно столько решений, какова степень уравнения. (Технически это утверждение верно, только когда решения подсчитываются с учетом их «кратностей». Если это соглашение не использовать, то число решений равно степени уравнения или меньше ее.) Эйлер доказал это свойство для уравнений степеней 2, 3 и 4 и утверждал, что аналогичные методы будут работать и в общем случае. Его идеи выглядели правдоподобно, но заполнение пробелов в намеченной им схеме доказательства оказалось практически невозможным, и даже сегодня требуются серьезные усилия, чтобы довести метод Эйлера до логического конца. Тем не менее математики предполагали, что если они решают уравнение некоторой степени, то следует ожидать появления в точности стольких корней, какова эта степень.

По мере того как Гаусс развивал свои идеи в теории чисел и анализе, его все менее и менее удовлетворяло то, что никто не доказал это предположение. Характерно, что в конце концов он сам предложил доказательство. Оно было сложным и на удивление непрямым: любой квалифицированный математик мог убедиться в его верности, но никто не мог сообразить, как же Гаусс до него додумался. Математический лис мстительно вилял хвостом.

В переводе с латыни заглавие диссертации Гаусса звучало как «Новое доказательство, что каждую рациональную целую функцию одного переменного можно разложить на вещественные множители первой или второй степени». Если пробиться через профессиональные термины, принятые в то время, то заглавие утверждает, что каждый многочлен (с вещественными коэффициентами) равен произведению выражений, представляющих собой линейные или квадратичные многочлены.

Гаусс использовал слово «вещественные», чтобы ясно показать: он работает в рамках традиционной числовой системы, в которой отрицательные величины не имеют квадратных корней. В наши дни мы бы выразили теорему Гаусса в логически равносильном, но более простом виде: каждый вещественный многочлен степени n имеет n вещественных или комплексных корней. Но Гаусс тщательно подбирал выражения таким образом, чтобы его работа не опиралась на все еще несколько сбивающую с толку систему комплексных чисел. Комплексные корни вещественного многочлена всегда можно собрать в пары, что приводит к вещественным квадратичным множителям, а линейные множители отвечают вещественным корням. Сформулировав заглавие в терминах множителей этих двух типов («множители первой или второй степени»), Гаусс обошел стороной спорный вопрос о комплексных числах.

Одно слово в заглавии не оправданно: «новое» предполагает, что имеются «старые» доказательства. Гаусс дал первое строгое доказательство этой фундаментальной теоремы в алгебре. Но чтобы не обижать прославленных предшественников, утверждавших, что у них имелись доказательства — которые все оказались ошибочными, — Гаусс представил свое выдающееся достижение как всего лишь самое свежее доказательство, опирающееся на новые (то есть правильные) методы.

Эта теорема получила известность как Основная Теорема Алгебры. Гаусс считал ее настолько важной, что дал в общей сложности четыре доказательства, причем последнее — когда ему было 70 лет. Лично он не испытывал никаких колебаний или сомнений по поводу комплексных чисел: они играли значительную роль в его мыслительном процессе, и впоследствии он сформировал собственное объяснение их смысла. Однако он старался избегать разногласий. С годами он стал замалчивать многие из своих оригинальных идей — неэвклидову геометрию, комплексный анализ и строгий подход к комплексным числам, — потому что не хотел вызывать то, что он называл «плачем беотийцев».

Гаусс не ограничивался чистой математикой. В начале 1801 года итальянский священник и астроном Джузеппе Пьяцци открыл новую планету или то, что ему представлялось планетой, — тусклое пятно света в телескопе, от ночи к ночи менявшее свое положение на фоне звезд, что было верным признаком принадлежности тела к Солнечной системе. Планете должным образом дали имя Церера[21], но на самом деле это оказался астероид — первый открытый астероид в истории. Не успел Пьяцци обнаружить новый мир, как тут же потерял его в блеске Солнца. Он сумел сделать так мало наблюдений, что астрономы не могли вычислить орбиту нового тела и беспокоились, что не найдут его, когда оно снова выйдет из-за Солнца.