По причинам, о которых остается только догадываться, эта система прекращалась на 59. Вавилоняне не рисовали шесть повернутых клиньев, чтобы составить 60. Вместо этого они снова использовали вертикальный узкий клин, который ранее обозначал единицу, но теперь ему придавалось значение «один раз по шестьдесят». Два таких клина означали 120. Но они могли также обозначать и «два». Какое именно значение имелось в виду, требовалось понимать из контекста, а также из расположения символов друг относительно друга. Например, если имелось два вертикальных клина, потом пробел, а потом снова два вертикальных клина, то первая группа означала сто двадцать, а вторая — два, подобно тому как символы «2» в нашей записи 22 означают двадцать и два.

Этот метод распространялся и на значительно большие числа. Вертикальный клин мог означать 1, или 60, или 60×60 = 3600, или 60×60×60 = 216 000, и так далее. Три нижние группы на рисунке обозначают число 60×60 + 3×60 + 12, которое мы бы записали как 3792. Большая проблема здесь состоит в том, что обозначения допускают некоторые неоднозначности. Если перед вашими глазами одни только вертикальные клинья, то означают ли они 2, 60×2 или 60×60×2? Означает ли повернутый клин, за которым идут два вертикальных, 12×60 + 2, или 12×60×60 + 2, или даже 10×60×60 + 2×60? Ко времени Александра Македонского вавилоняне устранили эти неоднозначности за счет использования пары небольших диагональных клиньев для указания пустой позиции при записи числа; фактически они изобрели символ для нуля.

Почему вавилоняне использовали шестидесятиричную систему, а не привычную нам десятичную? На их выбор могло повлиять полезное свойство числа 60: у него много разных делителей. Оно нацело делится на числа 2, 3, 4, 5 и 6. Оно также делится на 10, 12, 15, 20 и 30. Это свойство оказывается довольно удобным, когда дело доходит до деления вещей, будь то зерно или земля, на нескольких людей.

Чашу весов вполне мог склонить вавилонский метод измерения времени. По-видимому, вавилонцы находили удобным делить год на 360 дней, несмотря на то что они были превосходными астрономами и знали, что число 365 выражает длину года точнее, a 365¹/₄ — еще точнее. Их слишком сильно завораживало арифметическое соотношение 360 = 6×60. В действительности в том, что касалось указания времени, вавилоняне забывали о правиле, что перенесение символов на одну позицию налево означает умножение на шестьдесят, а вместо этого умножали на шесть, так что выражение, которое должно было бы обозначать 3600, в действительности интерпретировалось как 360.

Привязка к числам 60 и 360 дошла до наших дней — это привычные нам 360 градусов в окружности (по одному градусу на один вавилонский день), а также 60 секунд в минуте и 60 минут в часе. Старые культурные условности обладают удивительной живучестью. Меня особенно умиляет, как в наш век потрясающей компьютерной графики создатели фильмов датируют свои произведения римскими числительными.

Все это, за исключением знака «нуль», Набу-Шамаш и должен был проходить на начальных этапах своего обучения. Ему предстояло научиться ловко и быстро наносить на сырую глину тысячи маленьких клинышков. И подобно тому, как современные школьники не без усилий осваивают переход от целых чисел к обычным и десятичным дробям, так и Набу-Шамаш должен был рано или поздно встретиться с вавилонским методом записи таких чисел, как одна вторая или одна треть, или более сложных долей единицы, жесткая необходимость в которых диктовалась реальностями астрономических наблюдений.

Чтобы по полдня не выписывать клинья, исследователи представляют вавилонскую систему счисления, используя смесь старых и новых обозначений. Вместо групп из клиньев записываются десятичные числа, разделенные запятыми. Так что последняя группа на рисунке запишется как 1,3,12. Такое соглашение экономит массу дорогостоящего типографского набора, а при этом удобно для чтения, так что мы будем поступать также.

Как же записал бы вавилонский писец число «одна вторая»?

В нашей арифметике эта задача решается двумя различными способами. Число или записывается как дробь ¹/₂, или же используется знаменитая десятичная запятая, с помощью которой число представляется как 0,5. Обозначения в виде обыкновенной дроби более интуитивны и исторически возникли раньше; десятичные же обозначения несколько сложнее охватить своим умом, однако они удобнее при вычислениях, поскольку представляют собой естественное расширение правила «позиция-значение», действующего для целых чисел. Символ 5 в числе 0,5 означает «5, деленное на 10», а в числе 0,05 — «5, деленное на 100». Перемещение символа на одну позицию влево умножает его на 10; перемещение на одну позицию вправо делит его на 10. Все очень внятно и логично.

В результате десятичная арифметика по сути такова же, как арифметика целых чисел, за исключением того факта, что нужно следить за положением десятичной запятой.

Вавилоняне использовали ту же идею, но с основанием 60. Дробь ¹/₂ надо было выразить как дробь ¹/₆₀, взятую некоторое число раз. Очевидно, правильное число — ³⁰/₆₀, так что они записывали число «одна вторая» как 0;30, где современные исследователи применяют точку с запятой для указания на «шестидесятиричную запятую», которая в клинописных обозначениях опять же представлялась пробелом. Вавилоняне могли выполнять довольно сложные вычисления: например, известное им значение квадратного корня из 2 составляло 1;24,51,10, что отличается от истинного значения менее чем на одну стотысячную[4]. Они успешно использовали эту точность как в теоретической математике, так и в астрономии.

Самый восхитительный метод, который предстояло изучать Набу-Шамашу, коль скоро речь идет о нашей главной теме — симметрии, — это метод решения квадратных уравнений. Нам много всего известно о вавилонских методах решения уравнений. Из примерно миллиона известных вавилонских глиняных табличек около пятисот посвящены математике. В 1930 году востоковед Отто Нейгенбауэр понял, что запись на одной из этих табличек демонстрирует полное понимание того, что мы называем квадратными уравнениями. Это уравнения, которые содержат неизвестную величину и ее квадрат, перемешанные с различными конкретными числами. Без квадрата уравнение называлось бы «линейным», и такие уравнения решать проще всего. Уравнение, в которое входит куб неизвестного (т.е. неизвестное, умноженное на себя, а потом еще раз на себя), называется «кубическим». Вавилоняне, по-видимому, знали хитрый способ нахождения приближенных решений определенных типов кубических уравнений на основе численных таблиц. Однако все, в чем мы можем быть уверены, — это существование самих таблиц. Можно только предполагать, для чего они использовались, и наиболее вероятный кандидат — кубические уравнения. Но из табличек, которые изучал Нейгенбауэр, ясно следует, что квадратные уравнения писцы освоили полностью.

Типичное квадратное уравнение, которому около 4000 лет, формулируется так: «Найти сторону квадрата, если площадь минус сторона составляет 14,30». Сюда входит квадрат неизвестного (площадь квадрата), а также само неизвестное. Другими словами, в задаче требуется решить квадратное уравнение. На той же табличке довольно бесцеремонно приводится решение: «Возьми половину от 1, что есть 0;30. Умножь 0;30 на 0;30, что даст 0;15. Прибавь это к 14,30, и получишь 14,30;15. Это квадрат числа 29;30. Теперь прибавь 0;30 к 29;30. Результат равен 30 — стороне квадрата».

Что же тут делается? Запишем все эти действия в современных обозначениях.