Испытав в молодые годы жестокую нужду, не имел Чебышев привычки роскоши, а напротив — сделался до крайности бережлив и осторожен в материальных вопросах. Эта черта его характера, укрепляясь и развиваясь с годами, приняла выходящие из рамок формы. В этой стороне своего жития был он напросто странен. Хоть и прожил Пафнутий Львович всю жизнь холостяком, не было у него никогда ни слуги, ни камердинера. Не держал он собственного выезда, как принято состоятельному горожанину, а пользовался наемными извозчиками, не считая зазорным торговаться с ними из-за цены. До предела ограничивал расходы на бытовые потребности, вплоть до того, что даже собственноручно заливал прохудившиеся калоши. Единственно, на что не жалел Чебышев средств — на изготовление и испытание придуманных им механизмов. Так что деньги, вырученные за свои изобретения, щедро обращал он на тот же самый предмет.

Не раз и не два пришлось посетить Ляпунову квартиру Чебышева, и вскоре он перестал отвлекать свое внимание на занимавшие его поначалу сторонние подробности. Пройдя на привычное место, усаживался в удобное кресло и вслушивался в рассудительные речи Пафнутия Львовича, терпеливо ожидая, когда же тот выскажет желанную тему. И вот, надо полагать, наступили такой день и час. Александр замер, обратившись весь в слух.

— Ученым представляется ныне такая картина, — продолжил, наконец, Чебышев свой рассказ. — Не вращающаяся жидкая масса под действием сил взаимного притяжения ее частиц принимает форму сферы. Но стоит лишь закрутить ее вокруг оси, как центробежные силы начнут деформировать жидкое тело, и сфера сплющится, превратившись в эллипсоид Маклорена. Либо же станет несимметрическим трехосным эллипсоидом Якоби. При дальнейшем раскручивании массы наступит такой момент, когда из-за чересчур высокой скорости вращения невозможной будет никакая эллипсоидальная фигура равновесия. Эллипсоидальная, — с намерением повторил Чебышев, в знак внимания подняв кверху палец.

Александр уже видел, куда направляется дело и какую задачу имеет в мысли Пафнутий Львович.

— Так вот, не худо бы дознаться, не переходят ли при этом жидкие тела в какие-либо новые формы равновесия, которые при малом увеличении скорости вращения мало отличались бы от эллипсоидов.

И, посмотрев на Александра долгим, испытующим взглядом, Чебышев прибавил убедительным тоном:

— Вот если бы вы разрешили сей вопрос, на вашу работу сразу обратили бы внимание.

Тут Пафнутий Львович был прав безусловно. Это было вполне очевидно, так как предложенная задача стояла слишком на виду ученого мира. Больше того, возникает сомнение: можно ли было предлагать для магистерской диссертации столь неприступную тему? Последующие события наводят на мысль, что Чебышев просчитался в оценке трудности вопроса и не провидел серьезность тех препятствий, которые предстояло одолевать.

Но сформулированная Пафнутием Львовичем задача глубоко запала в душу двадцатипятилетнего кандидата Петербургского университета. С энергией и пылом новопосвященного, не охлажденного отрезвляющим опытом, безоглядно устремился Ляпунов в незнаемый путь, откинув всякие остерегающие соображения. Благословенная неопытность! Не умерили его рвение дошедшие стороною сведения, что то же самое Чебышев уже предлагал другим математикам, например Софье Ковалевской и своему любимому ученику Золотареву. Не насторожило то обстоятельство, что предшественники его, несомненно талантливые исследователи, почему-то не решили задачу или не сочли возможным прилагать к ней свои силы. Что от единоборства с неподатливой темой отказались многие видные зарубежные математики, посчитавшие чересчур самонадеянным отыскивать новые фигуры равновесия после исчерпывающих, казалось бы, работ Маклорена, Якоби и Лиувилля. Не остановило Александра даже то, что Чебышев так и не смог дать никаких указующих намеков, как приступить к решению. Надежды льстили молодому воображению, которым целиком завладела задача такого большого научного значения. Задача Чебышева, как будет он называть ее во все последующие годы.

А Бобылев тем временем как мог старался устроить материальное положение Ляпунова. Усилия его, в конце концов увенчались успехом, и Александру предоставили возможность читать в университете лекции. В январе 1883 года пишет он в Москву к Сергею, что получил место помощника Бобылева и готовится к первой лекции, но приват-доцентом назначить его не могут, поскольку не готова еще диссертация. Пока что он над ней работает со всем усердием.

Сергей откликнулся письмом, исполненным собственных забот. Завершая последний год обучения в консерватории, решил он приготовить к выпускному экзамену фантазию для альта, хора и симфонического оркестра. «Дары Терека» — так называлось задуманное им сочинение на стихи Лермонтова. Теперешнюю минуту нуждался Сергей в компетентной помощи: возникла необходимость ознакомиться с восточной тематикой в музыке. Ища совета у разных лиц, обратился он к С. Н. Кругликову, музыкальному деятелю, недавно переехавшему в Москву из Петербурга. И вот Кругликов, бывший в коротких отношениях с композиторами «Могучей кучки», пишет к Балакиреву и просит рекомендовать какой-нибудь сборник восточных напевов. «В нем нуждается один кончающий в здешней консерватории, некто Ляпунов, увлекающийся страстно произведениями новой русской школы и ненавидящий консерваторскую сушь, — сообщает Кругликов. — Он очень живой и, кажется, талантливый юноша; ему бы не следовало дать заглохнуть». Так еще раз пришлось услышать Балакиреву имя молодого Ляпунова и узнать уже более определенно его музыкальные вкусы и влечения.

Неизвестно, присоветовал ли чего Кругликов для выпускного сочинения Сергея, но консерваторский курс окончил Ляпунов в мае 1883 года с малой золотой медалью, получив диплом свободного художника.

В начале декабря 1883 года получил Сергей письмо от Бориса, в котором тот сообщил, что Александр ходил с Иваном Михайловичем к Бобылеву, что главное в своей диссертации он уже сделал и скоро начнет писать, что хочет он выйти на защиту в феврале будущего года. Но когда в конце декабря Сергей сам пожаловал в Петербург, чтобы встретить с братьями Новый год, то действительность оказалась вовсе иной. Что-то существенно переменилось в положении дел старшего брата.

— Снова оставили меня при университете на год и опять без стипендии, — сообщил он Сергею.

— Стало быть, снова заботиться о самообеспечении? — спросил Сергей сокрушенно.

— Кое-что все же предвидится. Не могу сказать наверное, но недели через две должны выйти перемены. Бобылев добивается, чтобы утвердили меня в должности хранителя кабинета практической механики. Тогда и жалованье будет мне определено.

— А что твоя диссертация? Александр ответил не сразу.

— С диссертацией пока задержка вышла, — наконец признался он. — Не все идет как нужно: запнулся я там, где не ожидал вовсе. — И, почувствовав в молчании Сергея невысказанный вопрос, пояснил, раздумчиво и не торопясь:

— Видишь ли, чтобы достигнуть истинного результата, должно приближаться к нему постепенно, ступенька за ступенькой. В математике так и говорят «метод последовательных приближений». Ежели первая грубая прикидка не отвечает решительным образом на вопрос, вычисляют второе приближение, более точное. Затем, по необходимости, третье, еще точнее, и так далее. Первое приближение не позволило мне со всею определенностью решить поставленную Чебышевым задачу. Получалось, будто бы невозможны новые формы равновесия, отличные от эллипсоидов, и с тем вместе какие-то фигуры, незначительно отклоняющиеся от эллипсоидальной формы, все же напрашивались. Окончательного ответа ждал я от второго приближения. Вот тут-то и вышла штука.

Александр в задумчивости провел пальцами по густой отросшей бороде и продолжил:

— Во всех задачах бывало так: коль скоро первое приближение найдено, то второе уже не представляло затруднений. По единому рецепту вычисляются все приближения, одним манером, так что разница между ними вычислительного, а не принципиального порядка. У меня же совсем напротив: отыскание общей формулы для расчета всякого приближения — дело чрезвычайной трудности. Первое-то приближение я еще сумел отыскать, употребив кой-какие догадки и упрощения, а второе приближение решительно не дается. Без него же вопрос остается непорешенным.