С самых первых своих харьковских дней включился Александр в тяжкий и неустанный труд. Ведь у него не были составлены даже начальные лекции. Располагая читать в Петербургском университете, подготовил он специальный курс по теории потенциала — вопросы, весьма близкие к только что оконченной диссертационной работе, а потому не требующие особенного напряжения. В Харькове же пришлось взяться за механику в целом. Перед каждой лекцией засиживался Ляпунов далеко за полночь. О каких-либо научных исследованиях не могло быть и речи. Преподавание полностью поглощало и силы и время.

И все же пришлось Ляпунову вернуться мыслью к фигурам равновесия вращающейся жидкости, когда в октябре пришло ему письмо из Парижа. Оно не явилось какой-либо неожиданностью, поскольку было ответом на его собственное послание, отправленное во Францию еще из Петербурга.

Минувшей весной, просматривая на досуге свежие номера парижского журнала «Comptes Rendus», в котором публиковались краткие научные сообщения, Александр обратил внимание на заметку Анри Пуанкаре, уже хорошо известного в Европе и в России математика и механика. Поразило и взволновало его нечаянное совпадение: французский ученый обследовал тот же самый вопрос, над которым работал и он последние два года. Нередкий в науке факт, тем не менее всякий раз изумляющий и будоражащий. Нетерпеливо и жадно начал вчитываться Александр в статью. Как и полагалось кратким сообщениям, содержала она лишь полученные автором основные результаты и выводы из них. Все подробности выкладок и доказательств были опущены. Но и при таком сокращенном представлении увидел Ляпунов, что Пуанкаре пришел к тому самому, к чему и он в своей диссертации. Только какая странность! Сходясь с ним в главном — в математических результатах, французский автор совершенно иначе их видел и в ином тоне толковал о них. Александра сразу насторожило столь очевидное различие с его собственным заключением, обличавшее разительное несходство в степени их убежденности.

Потерпев неудачу с задачей Чебышева, Ляпунов достаточно сдержанно говорил в своем труде о том, что после потери устойчивости эллипсоид Якоби может превратиться в новую фигуру равновесия, отличную от эллипсоидальной. Не отвергал он такую возможность, но и не принимал за достоверное. По его понятиям, иначе и быть не могло. Задача решена с ограниченной точностью, лишь в первом приближении, а потому существование новой фигуры не доказано с надлежащей строгостью.

Не то было у Пуанкаре. Он прямо утверждал, что новая фигура равновесия, названная им грушевидной за необычную форму, действительно существует. Значит, французский исследователь оказался более удачлив или более искусен, получив точное решение, приходил Александр к неизбежному выводу. И не подлежало сомнению, что Пуанкаре взял другую дорогу, отличную от той, которой воспользовался Ляпунов. «Ведь мне не удалось достигнуть даже второго приближения, — рассуждал Александр, — которое тоже не дало бы окончательного ответа. Будь оно найдено, все равно оставалось бы сомнение и потребовалось бы решение еще более точное. Нет, тут напрашивается совсем иной подход!» Александр давно уже вывел неутешительное заключение, что избранный им «метод последовательных приближений» нейдет к задаче Чебышева, да переменить было нечем.

Свои сомнения и соображения изложил тогда Ляпунов в письме к французскому коллеге и просил сообщить, в чем состоял его метод, давший ему непреложный ответ. Из краткого сообщения никак невозможно было это уяснить. Одновременно с письмом отослал он экземпляр своей диссертации.

И вот Анри Пуанкаре отозвался и со всей любезностью благодарил Ляпунова за присланную работу. Благодарил и сетовал, что не мог ее прочитать из-за незнания русского языка. «…Но видел из краткого отчета об этой работе, который г. Радо был так добр сделать для меня, что Вы меня опередили по некоторому числу пунктов», — чистосердечно признавал Пуанкаре. Далее французский ученый писал, что собирается выслать Ляпунову оттиск своей статьи, и просил известить его о сходстве и различии их исследований во всем, что касается результатов и методов. «Я составлю в соответствии с Вашими указаниями заметку, в которой воздам Вам должное и которая будет напечатана в «Актах», — обещал он, имея в виду международный математический журнал «Акта Математика».

Но что же отвечал Пуанкаре о том главном, что так нетерпеливо желал знать Ляпунов? Что сказал он о своем методе?

Тут Александра ждало удивление с разочарованием пополам. Никакого особого метода у Пуанкаре не было, был все тот же «метод последовательных приближений». И затруднения, с которыми он столкнулся, были точно того же порядка, что у Ляпунова. Дальше первого приближения французский математик не пошел, нет. Больше того, его тоже постигло разочарование в методе, который пользы уж сделать не может, если даже разыскание второго приближения, которое в смысле доказательства не дает ничего лучшего против первого, представляет непреодолимые трудности.

Откуда же тогда такая решительная уверенность в существовании новой фигуры равновесия? «Только на основании некоторых аналогий и на основании убеждения, что строгое доказательство, хоть оно пока не найдено, все ж таки может быть получено», — отвечал Пуанкаре.

Ляпунов не согласился с доводами французского коллеги, не находя их ни сильными, ни справедливыми. Имея дело с жидкостью, ссылался Пуанкаре на утверждения, выведенные для твердых тел. Снова та же неправомерная аналогия, к которой прибегнул еще Лиувилль и против которой Ляпунов восставал и восставать не перестанет. И снова законность ее никак не доказана, даже приступа к тому не видно. Александру стало досадно, что столь известный и авторитетный математик не заботится думать о строгости обоснования своих заключений. Еще из лекций Чебышева вынес Ляпунов непререкаемое убеждение, что в серьезных математических исследованиях нестрогость вывода не допустима ни под каким видом.

— При решении вопросов технических нестрогость является вещью довольно обыкновенною, тут другая речь, — бывало говорил Пафнутий Львович своим слушателям. — Происходит она не от несовершенства математических методов, а от самой сущности вопросов технических. Но коли имеешь дело с задачей математики, должно проводить доказательство по всей строгости.

И вот французский математик решал задачу Чебышева, как называл ее Ляпунов, дозволяя предосудительную приблизительность рассуждений. Жаль, Пафнутий Львович далеко и не обсудить с ним работу Пуанкаре. Впрочем, и без того ясно, что сей непогрешительный судья по части математической строгости никак не одобрил бы торопливость умозаключений французского коллеги. Но что бы он заговорил о причине прискорбных заблуждений европейских ученых? Тут уж не случайность, если и великий Лаплас, и многоопытный Лиувилль, а теперь и новое светило зарубежной науки Пуанкаре — все повинны в одном грехе.

Очень задевало Ляпунова неправомерное обращение коллег с теоремой Лагранжа, которую упорно тянут в ту сторону, где не дано ей назначения. Так, может быть, причина в самой теореме сокрыта? Или в доказательстве ее? Нет, формулировка теоремы устойчивости в классическом труде Лагранжа вполне строга, к ней нет претензий. Правда, доказательство Лагранжа никого не устроило. Но спустя несколько десятилетий Дирихле доказал теорему. Да еще как! До сих пор в ученых кругах считают его доказательство верхом совершенства и образцом изящества. Все так, нельзя не согласиться с этим. Только в самом ли деле безупречен Дирихле и не дал никакого повода к превратному толкованию? Работая над магистерской диссертацией, Ляпунов пригляделся к его доказательству и обратил внимание на допущенную в нем незначительную вроде бы небрежность, которая могла сыграть пагубную роль. Даже при беглом обзоре статьи Дирихле легко обнаружил Александр следы его неосмотрительности в самой записи формул. Перечисляя координаты, определяющие положение изучаемого предмета, немецкий математик записал подряд первую, вторую, третью координаты, а далее оборвал запись многоточием, мол, и другие. А вот сколько их, других, — понимай как хочешь. Надо бы поставить автору после многоточия еще одну букву для означения последней из употребленных координат, «энной» по порядку. Потому что только для ограниченной их численности, для «энной» количества координат справедливо его доказательство. Но нигде не оговорил того Дирихле. Неизвестно, допустил ли он небрежность или преднамеренность, только нечеткость его изложения произвела много печальных последствий. Создавалось впечатление, будто доказательство теоремы Лагранжа годится и тогда, когда нет среди координат последней, когда бесконечно их множество. Ведь и так можно истолковать ничем не заключенное многоточие. А почему бы в таком случае не применить теорему к жидкости, число частиц которой неисчислимо?