116. Еще раз о делении на 37.Вот интересное развитие предыдущей головоломки. Девять цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 выписаны в случайном порядке, например 412 539 768. Какова вероятность того, что получившееся число делится без остатка на 37?
117. Задача о десяти цифрах.Расставьте все десять цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 в таком порядке, чтобы получившееся число делилось на все числа от 2 до 18. Если, например, разместить цифры в последовательности 1 274 953 680, то получившееся число будет делиться на 2, 3, 4, 5 и т. д. до 16, но не разделится на 17.
118. Тройки и семерки.Какое наименьшее число обладает тем свойством, что оно записывается только с помощью цифр 3 и 7 и что как оно, так и сумма его цифр делятся на 3 и 7? Например, 7 733 733 делится без остатка на 3 и на 7, но сумма его цифр (33) на 3 делится, а на 7 нет, поэтому оно не может служить решением задачи.
119. Извлечение корня.Однажды в разговоре с профессором Саймоном Грейтхедом, человеком весьма эксцентричного склада ума, я как-то упомянул об извлечении кубического корня.
— Поразительно, — сказал профессор, — какое невежество проявляют люди в столь простом вопросе! Создается впечатление, что в извлечении корней со времен, когда единственными корнями были корни, извлекаемые с помощью лопат, вил и садового совка, мир никуда не продвинулся. Например, никто, кроме меня, до сих пор не обнаружил, что для извлечения кубического корня из какого-нибудь числа достаточно лишь найти сумму его цифр.
Извлечь кубический корень из 1 может всякий. Хотя этот пример и подкрепляет высказанное мной утверждение, он слишком тривиален, и мы его рассматривать не будем. Предположим, что требуется извлечь кубический корень из 512. Находим сумму цифр, равную 8, и ответ получен!
Я высказал предположение, что здесь мы имеем дело с исключительным случаем.
— Вовсе нет, — возразил профессор, — возьмем наугад другое число, скажем 4913. Сумма его цифр равна 17, а 17 в кубе равно 4913.
Я не осмелился возражать ученому, но попрошу читателей найти все остальные числа, у которых кубический корень совпадает с суммой цифр. Этих чисел так мало, что их буквально можно пересчитать по пальцам.
120. Необычный пример на деление.Вот довольно любопытная головоломка. Найдите наименьшее число, которое при последовательном делении на 45, 454, 4545 и 45 454 даст в остатке соответственно 4, 45, 454 и 4545. Быть может, найти такое число нелегко, зато, решая задачу, вы освежите свои познания в арифметике.
121. Три различные цифры.Профессор предложил студентам найти все числа, составленные из трех различных цифр, каждое из которых делится на квадрат суммы своих цифр. Так, в случае числа 112 сумма цифр равна 4, квадрат ее равен 16 и 112 делится на 16, но, к несчастью, 112 составлено не из трех различных цифр.
Сумеете ли вы найти все возможные решения задачи?
122. Цифры и кубы.Профессор Рэкбрейн попросил недавно своих молодых друзей найти все пятизначные квадраты, у которых сумма чисел, образованных двумя первыми и двумя последними цифрами, равна точному кубу. Так, если мы возьмем квадрат числа 141, равный 19 881, и прибавим 81 к 19, то получим 100 — число, не являющееся, к сожалению, точным кубом.
Сколько всего существует решений?
123. В обратном порядке.Какое девятизначное число, будучи умноженным на 123 456 789, даст произведение, у которого в девяти младших разрядах будут стоять цифры 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 (именно в таком порядке)?
124. Прогрессия.«Если из девяти цифр, — сказал профессор Рэкбрейн, — вы составите три числа 147, 258, 369, то обнаружите, что любое последующее отличается от предыдущего на 111 и что, следовательно, получилась арифметическая прогрессия».
Не смогли бы вы переставить девять цифр четырьмя способами так, чтобы в каждом случае три числа образовывали арифметическую прогрессию, а среднее число оставалось бы одним и тем же?
125. Составление целых чисел.Может ли читатель назвать сумму всех целых чисел, составленных из четырех цифр 1, 2, 3, 4? Другими словами, требуется вычислить сумму таких чисел, как 1234, 1423, 4312 и т. д. Разумеется, можно было бы выписать подряд все такие числа и затем сложить их. Однако интереснее отыскать простое правило, с помощью которого можно найти суммы чисел, составленных из четырех различных произвольно выбранных (отличных от нуля) цифр.
126. Суммирование чисел.Профессор Рэкбрейн хотел бы знать, чему равна сумма всех чисел, которые можно составить из девяти цифр (0 исключен), используя каждую цифру в каждом числе один и только один раз.
127. Цифровое квадрирование.Возьмите девять фишек с цифрами соответственно от 1 до 9 и расположите их в ряд, как показано на рисунке. Требуется, переставив пары фишек как можно меньшее число раз, расположить их в таком порядке, чтобы цифры образовали квадрат целого числа. В качестве примера приведем следующие шесть перестановок:
128. Цифры и квадраты.Одна из небольших рождественских головоломок профессора Рэкбрейна гласит следующее: чему равны наименьший и наибольший квадраты, содержащие все десять цифр от 0 до 9, причем каждую цифру — лишь по одному разу?
129. Цифровые квадраты.Очень хорошая головоломка состоит в том, чтобы найти число, которое вместе со своим квадратом содержало бы по одному и только одному разу каждую из девяти цифр, исключая нуль. Так, если бы квадрат числа 378 равнялся 152 694, то это число нам бы подошло. Но на самом деле его квадрат равен 142 884, что дает нам две четверки и три восьмерки, а 6, 5 и 9 отсутствуют.
Существует только два решения; их можно найти за четверть часа, если действовать правильно.
130. Отыскание квадрата.Даны шесть чисел: 4 784 887, 2 494 651, 8 595 087, 1 385 287, 9 042 451, 9 406 087. Известно, что три из них в сумме дают полный квадрат. Что это за числа?
Читатель, вероятно, не увидит другого пути, кроме утомительного метода проб и ошибок, и все же существует прямое решение задачи, использующее лишь простые арифметические соображения и не требующее извлечения квадратных корней.
131. Жонглирование цифрами.Составьте из десяти цифр три простейших арифметических выражения, используя три из четырех арифметических действий — сложения, вычитания, умножения и деления. (В записи выражений разрешается применять лишь знаки трех выбранных арифметических действий.) Поясним сказанное на примере. Рассмотрим три арифметических выражения
Этот пример не может служить решением задачи, поскольку цифра 2 пропущена, а цифра 3 повторяется дважды.
132. Равные дроби.Можете ли вы составить три самые обычные дроби (скажем, что-нибудь вроде ½, ⅓, ¼ или
Существует только пять решений, но пятое содержит некую «изюминку» — тонкость, которая, быть может, ускользнет от читателя.
133. Цифры и простые числа.Используя каждую из девяти цифр один и только один раз, составить простые числа (числа, которые не делятся без остатка ни на какое целое число, кроме 1 и самих себя), сумма которых была бы наименьшей.