Решение. Пусть стороны а, b, с треугольника ABC образуют арифметическую прогрессию с разностью d. Будем считать, что а ? b ? с. тогда a = b – d, c = b + d, периметр Р = 2р = 3b.

Воспользуемся формулой r = S/P, получим r = 2S/3b. А так как S = 1/2bhb, то r = 1/3hb.

163. Диагонали трапеции делят её среднюю линию на три равные части. Как относятся основания этой трапеции? (1)

164. Докажите, что середины сторон равнобокой трапеции являются вершинами ромба. (1)

165. В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы четырех углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник. (2)

166. Площадь четырёхугольника равна S. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны и параллельны диагоналям четырёхугольника. (2)

167. Докажите, что в параллелограмме ABCD расстояния от любой точки диагонали АС до прямых ВС и CD обратно пропорциональны длинам этих сторон. (2)

168. В выпуклом четырёхугольнике длины диагоналей равны одному и двум метрам. Найти площадь четырёхугольника, зная, что длины отрезков, соединяющих середины его противоположных сторон, равны. (1)

1. Признаки параллельности прямых (формулировки и примеры).

2. Решение треугольника по стороне и двум углам.

3. Углы ADC и ABC вписаны в окружность, ?ABC = 74°. Найдите градусную меру ?ADC (рис. 213).

Рис. 213.

4. Дуги А1В1 и А2В2 равной длины 1 принадлежат разным окружностям с радиусами R1 и R2. Найдите отношение градусных мер центральных углов, соответствующих этим дугам.

1. Свойство углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой (формулировки и примеры).

2. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

3. В треугольнике ABC отмечены точки D и Е, которые являются серединами сторон АВ и ВС соответственно. Найдите периметр четырёхугольника ADEC, если АВ = 24 см, ВС = 32 см и АС = 44 см.

4. Расстояние от точки А до точек В и С равны 3 см и 14 см соответственно, а расстояния от точки D до точек В и С равны 5 см и 6 см соответственно. Докажите, что точки А, В, С и D лежат на одной прямой.

1. Третий признак равенства треугольников (формулировки и пример).

2. Теорема об углах, вписанных в окружность.

3. Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник, сторона которого равна 4 см.

4. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям трапеции и равен полуразности оснований.

1. Теорема о сумме углов треугольника (формулировка и пример).

2. Решение треугольника по трём сторонам.

3. В трапеции ABCD с основаниями AD = 12 см и ВС = 8 см проведена средняя линия ML, которая пересекает диагональ АС в точке К. Чему равны отрезки МК и KL?

4. Из одной точки к двум касающимися внешним образом окружностям проведены три касательные, причем одна из них проходит через точку касания окружностей. Докажите, что касательные равны.

1. Определение синуса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

2. Свойство углов равнобедренного треугольника.

3. Из точки D, лежащей на катете АС прямоугольного треугольника ABC, опущен на гипотенузу СВ перпендикуляр DE. Найдите отрезок CD, если СВ = 15 см, АВ = 9 см и СЕ = 4 см.

4. Точки К и L – середины сторон AD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AL и СК делят диагональ BD на три равные части.

1. Определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

2. Признак равнобедренного треугольника.

3. Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника ABC, пересекает боковые стороны АВ и АС в точках М и N. Докажите, что треугольник MAN – равнобедренный.

4. В прямоугольный равнобедренный треугольник вписан прямоугольник так, что угол прямоугольника совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на гипотенузе. Докажите, что периметр прямоугольника есть величина постоянная для данного треугольника.

1. Определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

2. Свойство медианы равнобедренного треугольника.

3. В параллелограмме ABCD проведена диагональ BD и отрезок

пересекающий BD в точке О. Известно, что ВО = 6 см, OD = 18 см. Определите сторону параллелограмма AD, если FB = 4 см.

4. Докажите, что в ромб можно вписать окружность.

1. Теорема косинусов. Пример ее применения для решения треугольников.

2. Окружность, вписанная в треугольник. Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник.

3. В треугольниках ADB и AFC: AD = DB, AF = FC. Докажите, что DB||FC (рис. 214).

Рис. 214.

4. Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AB2+ CD2= BС2+ AD 2.

1. Теорема синусов. Пример её применения для решения треугольников.

2. Окружность, описанная около треугольника. Теорема о центре окружности, описанной около треугольника.

3. Найдите углы равнобедренного треугольника, если внешний угол при основании равен 112°.

4. Углы при основании трапеции равны 60° и 45°, высота трапеции равна 6 см. Найдите боковые стороны трапеции.

1. Построение с помощью циркуля и линейки треугольника по трем сторонам.

2. Сложение векторов. Свойства сложения векторов.

3. Сумма углов выпуклого многоугольника равна сумме его внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Найдите число сторон этого многоугольника.

4. В прямоугольном треугольнике ABC (?С – прямой) проведена высота CD. Докажите, что если ?СВА = 30°, то АВ: BD = 4:3.

1. Построение с помощью циркуля и линейки угла, равного данному.

2. Умножение вектора на число. Свойства произведения вектора на число.

3. Радиус окружности равен 7 см. Найдите периметр описанного около нее правильного четырёхугольника.

4. Докажите, что в равностороннем треугольнике расстояние от точки пересечения двух биссектрис до стороны в два раза меньше расстояния от этой же точки до вершины.

1. Построение с помощью циркуля и линейки биссектрисы угла.

2. Неравенство треугольника.

3. В параллелограмме сумма двух противолежащих углов равна 132°. Найдите градусную меру каждого из этих углов.

4. На диаметре окружности построен равносторонний треугольник. Определите градусную меру дуг, на которые стороны треугольника делят полуокружность.

1. Построение с помощью циркуля и линейки перпендикулярной прямой.

2. Признаки подобия треугольников (доказательство одного из них).