6. Однако в этом нашем логическом анализе алгебраического числа может крыться одна неясность, которую необходимо сейчас же устранить. Алгебраическое число, сказали мы, есть число, хранящее в себе потенцию целого числа. Вместе с тем алгебраическим числом мы называем такое, которое отображает в себе свое неразвернутое (так сказать, одномерное) инобытие. Эти два определения, по–нашему, тождественны. Но пожалуй, их тождественность еще не вполне ясна из предыдущего. Тут необходимо обратить внимание на то, что одномерность инобытия есть ведь попросту единство становления, или, другими словами, единообразие его направления. Наличие такого инобытия в недрах числа обеспечивает возможность для него изменяться в прямо противоположные стороны. Если данное число мыслится полученным в результате той или другой арифметической операции (или определенной комбинации этих операций), то наличие в нем его одномерного инобытия есть не что иное, как возможность произвести над ним действие, обратное тому или тем, которые над ним производились. Если число было суммой двух других чисел, то наличие в нем одномерного инобытия обеспечивает возможность произвести из него вычитание одного из двух этих других чисел. Благодаря этому всеобщему принципу можно положительное число превратить в отрицательное и обратно, целое—в дробное и обратно, рациональное—в иррациональное и мнимое и обратно. Но так как основой всяких вообще операций является обыкновенный счет по натуральному ряду, т. е. по всем возможным целым числам, то и возникает потребность говорить о числах, так или [иначе) сводимых к целому числу. Однако для этого сведёния требуется только наличие в данном числе одномерно–инобытийной потенции. Такое инобытие действует просто как сила, выставляющая новые числа в отношении данного, причем эти числа обеспечивают изменяемость данного числа в самых разнообразных, и в особенности в противоположных, направлениях. Максимальное изменение, которое тут может произойти с числом, — это вовлечение его в стихию чистого становления, но последнее тут всегда дано именно в чистейшем, беспримесном виде, как голый принцип, так что рождающаяся здесь иррациональность есть только результат извлечения корня.
Итак, сказать ли, что число сводимо к целому числу, или сказать, что оно хранит в себе одномерно–инобытийную потенцию, — это действительно есть одно и то же.
7. Так как мы рисуем сейчас алгебраическое число как некий общий тип числа, то нам нет нужды входить в рассмотрение того, что в математике называется алгебраической областью или алгебраическим полем (его называют также алгебраическим телом), хотя только эта отрасль математики показала бы нам подробно структуру алгебраических чисел. Мы не будем здесь делать этого, тем более что «арифметической теории алгебраических чисел» нам еще придется коснуться в своем месте.
8. А теперь на очереди тот тип числа, который является диалектической противоположностью алгебраического числа. Этот новый тип будет тоже выразительным, типом, как и алгебраическое число, но здесь мы найдем выражение совсем иной структуры. Из предыдущего сама собой напрашивается идея построить такое число, которое бы, храня в себе свое инобытие (т. е. являясь выразительным), содержало его не в виде простой, одномерной положенности, но развертывала бы его в сложную, многомерную структуру. То становление, которое приносится инобытием, в свою очередь должно вступать в новое становление, получать усложненность, зависящую от привнесения в него еще новых, не зависящих от него моментов. Такая иррациональность уже не может равномерно расстилаться как результат простого извлечения корня. Она сама перешла здесь в свое инобытие, т. е. в нее вплетены моменты, не зависящие от извлечения корня и—тем более—не зависящие ни от какой другой арифметической операции. Такая иррациональность называется трансцедентной; и такие числа, данные в своем соотношении с многомерно–становящимся инобытием, называются трансцедентными.
К анализу этой труднейшей и темнейшей из всей математики числовой категории мы сейчас и приступим.
1. Обычное определение трансцедентного числа в математике гласит: трансцедентное число есть то, которое не является корнем никакого уравнения с целыми коэффициентами. Это определение дается по методам того восточного человека, который, желая описать Карапета, указывает на Аванеса и говорит: «Совсем не похож!» Предоставим подобные методы кафедральным академикам и попробуем сами разобраться в этой проблеме, базируясь на тех весьма немногочисленных математических исследованиях, которые относятся к этой области. Но сначала формулируем трансцедентное число как общефилософскую категорию, как она получается в общедиалектическом контексте, — чтобы не потонуть в математической схоластике и формализме, — а потом уже посмотрим, что дает в этом смысле сама математика.
2. Итак, трансцедентное число есть число, соотнесенное со своим инобытием в условиях развернутости (или многомерности) этого инобытия. Уточним это общее определение, полученное еще в конце предыдущего параграфа.
a) Самым главным или по крайней мере исходным пунктом этого определения является соотнесенность числа с инобытием. Следовательно, берем какое–нибудь (алгебраическое) число и берем его отношение к его «инобытию», т. е. к какому–нибудь другому числу. Это отношение двух чисел должно быть все время в центре нашего внимания.
b) Это отношение, однако, должно быть нами взято не просто как таковое. Наше определение трансцедентного числа гласит, что инобытие, привлекаемое здесь, само переходит в свое инобытие, в свое становление. Следовательно, и все только что взятое нами отношение двух чисел также должно перейти в свое инобытие, в свое становление. А это значит, что оно должно осложниться каким–нибудь действием или рядом действий, в результате чего оно потерпело бы ту или иную деформацию.
c) Достаточно ли этого? Если мы остановились бы только на этом, то у нас ничего и не было бы, кроме какого–то отношения двух целых чисел, деформированного той или иной арифметической операцией. Ни о какой трансцедентности не было бы ни слуху ни духу. В чем же дело? Для трансцедентности числа надо, чтобы само число вмещало в себя эту свою многомерную соотнесенность с инобытием. Значит, по меньшей мере эта соотнесенность должна быть прибавлена к самому числу. Мы должны рассматривать само число и в нем самом находить его соотнесенность с инобытием. Не может быть так, что число существует где–то само по себе, а его соотнесенность с инобытием где–то в другом месте, отдельно. Тогда получилось бы просто два разных числа, и притом алгебраических (если не прямо арифметических), и больше ничего. Следовательно, для трансцедентности необходимо сложить само число с его инобытийной соотнесенностью.
d) Но не получим ли мы и в этом случае опять–таки то же самое алгебраическое (или арифметическое) число? Несомненно получим, если остановимся только на этом. Сумма двух алгебраических чисел есть опять число алгебраическое. Что же мы должны сделать еще новое, чтобы приблизиться к этой неуловимой числовой трансцедентности? Обратим внимание на момент развернутости инобытия, о котором мы говорили. Философский (или, что то же, диалектический) смысл этого развертывания заключается не в чем ином, как в противополагании такому инобытию, которое дано как простой акт полагания. Что значит перейти в противоположность простого акта полагания? Это значит перейти в сплошно–неразличимый акт полагания, в алогическоестановление акта полагания. Следовательно, наше инобытие, с которым соотносится изучаемое число, должно быть не просто ординарным актом, создающим ту или [иную ] соотнесенность; и эта соотнесенность не должна быть чем [-то] устойчивым, как любое арифметическое отношение двух чисел, но она должна уплыть в становление, уйти в нерасчлененную даль все новых и новых становлений. А это значит, что и оба момента, из которых складывается эта соотнесенность, т. е. и первоначальное отношение данного числа к другому, и последующая модернизация этого отношения через приобщения к нему еще нового инобытия, оба эти момента должны уйти в бесконечность становления. Если этого не будет, наш принцип многомерной инобытийности останется только на стадии простого акта полагания, т. е. опять ничем не будет отличаться от принципа алгебраического числа. У нас будет введено новое инобытие в отношении старого, но это инобытие коснется только содержания старого инобытия; оно его единовременно и единообразно деформирует и тем самым только заменит одно арифметико–алгебраическое отношение другим, и больше ничего. А полнота диалектического противоположения требует, чтобы у нас выросла не только антитеза содержания первоначального отношения, но и антитеза самого его факта, антитеза самого принципа этого отношения. А тогда необходимо, чтобы и само первоначальное соотношение числа с его инобытием, и дальнейшая модернизация его на новое соотношение—оба ушли в стихию становления, и так как становление нерасчлененно и неопределенно, то и—в стихию неопределенного, беспредельного становления. Только тогда мы выполним задание, лежащее в основе диалектического отрицания инобытийности, характерной для алгебраического числа; и только тогда получим здесь действительно развернутое становление.