с) Каково же отношение между трансцедентным, излившим из себя бесконечность в инобытие, и самим этим инобытием, ставшим бесконечностью, и, показано выше, отрицательной бесконечностью? Тут волей–неволей придется коснуться и категориального раскрытия того, что осталось в трансцедентном после исключения из него соотнесенности с бесконечным. Спросим себя: сделалось ли оно от этого менее бесконечным, т. е. может ли оно стать от этого конечным? Разумеется, нет, потому что трансцедентное есть такая бесконечность, которая охватывает все свои многомерно–инобытийные судьбы в пределе. Это значит, что оно может порождать из себя целую бесконечность разных инобытий–бесконечностей и все же от этого не изнурится. Но тогда что же это такое — «оставшееся» в трансцедентном после эманирования из него бесконечности? Раз мы исключили отсюда соотнесенность с инобытийной бесконечностью, то, очевидно, в нем останется та же самая мощь бесконечных эманаций, но только, ввиду произведенного исключения, мы не будем эту мощь относить к какому–нибудь инобытию, а будем брать ее как таковую, в чистом виде. После произведенного исключения в трансцедентном останется только самая способность вечного порождения, останется бесконечная мощь бесконечных эманаций, бесконечная мощь бесконечных самовоплощений, или бесконечного роста, или иначе—бесконечная степень бесконечности.

Определивши так «остаток», спросим себя опять: в каком же отношении находятся между собою этот «остаток» и отрицательно–инобытийная бесконечность? Что нужно сделать с этой отрицательной бесконечностью, чтобы превратить ее в тот «остаток», который образовался в трансцедентном? И что нужно сделать с этим «остатком», чтобы превратить его в отрицательную бесконечность? Очевидно, и в том и в другом случае надо опять проделать бесконечный процесс, в первом случае, чтобы дорасти до трансцедентного «остатка», во втором случае, чтобы умалиться до отрицательной бесконечности. Если есть действительно трансцедентное число, то, даже исключивши из него его соотнесенность с бесконечностью, мы все же получаем из него нечто такое, до чего отрицательное инобытие должно дорастать еще целую бесконечность времени. Во всяком трансцедентном всегда содержится так или иначе бесконечность в бесконечной степени, ибо мы ведь так и определяем трансцедентное: оно содержит в себе 1) инобытие, 2) инобытие инобытия и 3) то и другое как бесконечности в пределе. Значит, это всегда есть бесконечность, бесконечное число раз повторившая себя в себе. Поэтому, извлекая из нее простую «одномерную» бесконечность, мы всегда найдем, что эту простую бесконечность надо еще возвысить в бесконечную степень, чтобы она сравнялась с трансцедентным числом.

4. Следовательно, результат наших поисков трансцедентного числа таков. .Если по исключении из некоего числа ω соотнесенности с бесконечным оно все же в бесконечной степени превосходит отрицательную бесконечность, то число ω—трансцедентное число.

Теперь обратимся к тому, что дает математика.

1. История математического исследования трансцедентных чисел весьма несложная. Хотя с трансцедентными числами и математики оперировали издавна, но до 40–х годов прошлого века сущность этого типа числа совсем не изучалась. Только в 1844 г. французский математик Liouville впервые установил достаточный (хотя все еще не необходимый) признак трансцедентности числа. Он же доказал, что число е, основание натуральных логарифмов, не может быть корнем никакого квадратного или биквадратного уравнения с целыми коэффициентами  [882]. Эрмит в 1873 г. доказал трансцедентность е на основании т. н. эрмитовского интегрального тождества  [883], применяя свой громоздкий аппарат (впоследствии упрощенный [884]). Только в 1882 г. Линдеман  [885]доказал трансцедентность π, а в 1885г. Вейерштрасс [886].значительно упростил это доказательство, сделавши к тому же вывод о трансцедентности тригонометрических функций (Sinω, если со-—алгебраическое число). [887]Кроме того, в 70–х годах Г. Кантор дал замечательно простое доказательство существования трансцедентных чисел вообще [888]. Он установил два тезиса: 1) множество всех действительных чисел имеет мощность континуума, и 2) множество всех алгебраических чисел есть счетное множество. Отсюда сам собой получается вывод, что алгебраические числа не заполняют собою всего континуума вещественных чисел и что должны существовать еще и не алгебраические, хотя все–таки действительные числа. Эти вещественные, но не алгебраические числа и есть трансцедентные числа, причем [их] бесконечно больше, чем алгебраических. К этому учению можно было бы, конечно, добавить, что все трансцедентные числа тоже еще не составляют континуума, а образуют опять только счетное множество (что легко выводится из счетности коэффициентов дифференциального уравнения для каждого данного л–го положения трансцедентного числа, разлагаемого в алгебраический ряд). Поэтому должны существовать еще какие–то особые числа для заполнения всего вещественного континуума. Эти числа назвали гипертрансцедентными, но, кажется, до последнего дня [о них] ничего не сказано ясного.

Кроме указанных авторов заслуживают упоминания в интересующей нас проблеме только три автора, все уже XX века. Это Э. Борель  [889], Д. Д. Мордухай–Болтовский  [890]и А. Ф. Гельфонд  [891].

Несмотря на то что вся эта литература не очень обширна, дать логический анализ всех этих учений можно только в большом специальном исследовании. Мы извлечем отсюда только наиболее принципиальные установки, чтобы вышеизложенная философия трансцедентного числа не повисла, в математическом смысле, в воздухе. А именно, 1) мы рассмотрим признак Лиувилля для трансцедентности числа. Затем 2) мы дадим характеристику главнейших представителей этого числа, т. е. Неперова числа е и числа π. При этом 3) придется коснуться и некоторых трансцедентных функций (к которым относятся прежде всего показательная, логарифмическая и тригонометрические), хотя специальному обследованию они должны быть подвергнуты, конечно, не в арифметике. Наконец, 4) огромный логический интерес представляет проблема взаимоотношения общетрансцедентальных, алгебраических (в частности, комплексных) и тригонометрических функций и чисел.

2. а) Итак, остановимся прежде всего на достаточном признаке трансцедентности числа по Лиувиллю. В указанных работах этот математик исходит для разыскания такого признака из абсолютной величины отклонения трансцедентного числа от рациональной дроби,

которая его приближенно выражает. Если алгебраическое число χ определяется неприводимым уравнением w–й степени, то для достаточно большого q мы имеем

x —

где А > 0 и не зависит от q. Это условие, очевидно, неоОходимо для того, чтобы число χ было алгебраическим. Оно, конечно, не есть еще достаточное условие. Но тогда отсюда можно получить условие для трансцедентности числа, которое будет, наоборот, достаточным, но не необходимым. Если, какое бы ни было η, мы имеем, при достаточно большом q, что

x —

то χ уже не сможет быть алгебраическим числом. Оно будет трансцедентным. На основании этого неравенства можно так формулировать достаточный признак трансцедентности числа ω: