b) Анализируя его с диалектической точки зрения, мы находим следующее. 1) Речь идет прежде всего о синусе. Синус есть мера раскрытия, развертывания угла. Синус свидетельствует о степени раздвинутости сторон, образующих угол; он раскрывает то содержание, которое кроется между сторонами угла. 2) Если χ в этом пределе есть длина дуги, a sinx есть синус угла, соответствующего этой дуге, то вполне правильно будет признать, что χ есть проводимая граница, a sinx есть мера развертываемого внутреннего содержания, получающегося в результате проведения этой границы. 3) Далее, берется отношение между синусом угла и длиной соответствующей дуги; и отношение это берется к тому же не просто как такое, но как предельное отношение, т. е. при том условии, что χ стремится к 0. И длина дуги, и синус соответствующего угла берутся в самом их зарождении или, что все равно, в самом их окончании, т. е. вообще в процессе их становления. 4) И утверждается: этот предел равен 1. Другими словами, sinx их в пределе оказываются равными одно другому, раз отношение между ними в пределе равно 1. Как раз это самое и утверждалось выше, когда говорилось, что в пределе ограничивающее и ограничиваемое вполне тождественны, что проведение внешней границы и раскрытие внутреннего содержания, в смысле предельных процессов, ничем не отличаются одно от другого.

9. а) Учением о пределе отношения синуса угла к длине соответствующей дуги вполне ясно демонстрируется диалектическое учение о становлении границы как о моменте, составляющем антитезис энергийно–выявленной единичности. Но становление должно стать ставшим, чтобы диалектика в данном пункте получила завершение. Ставшее, говорили мы, в сфере смысла есть фигурность смысла. Ставшее, кроме того, т. е. фигурность смысла, мы берем пока не в абсолютной чистоте и самодеятельности, но вместе со стихией энергийно–выявленной единичности. Это ставшее оказывается, таким образом, ставшим границы в условии такого взаимоотношения ее с размерами очерченного границей содержания [897]. Здесь уже не становящаяся, внешняя граница в ее взаимоотношении с очерчиваемым внутренним содержанием, но законченная, замкнутая граница в ее взаимоотношении со всей целостью очерченного внутреннего содержания. В математике этой диалектической конструкции соответствует число π, определяемое как отношение длины окружности к ее диаметру. Что окружность есть замкнутая граница, это очевидно. Что диаметр указывает на степень раскрытия и растворения или, грубо говоря, просто на размеры окружности, это тоже само собой понятно. Стало быть, π и есть как раз отношение законченной внешней ограниченности к очерченному внутреннему [898]содержанию, т. е. та самая концепция предела, которая является синтетическим завершением энергийной единичности, получившей, наконец, цельное очертание, сопоставленное со своим внутренним инобытием.

b) Интересен также еще и другой вид представления π как предела, а именно—как площади круга с радиусом, равным 1. Как мы знаем из элементарной геометрии, площадь / правильного вписанного в круг 2m–угольника равняется

Отсюда

если η есть количество удвоений сторон вписанного w–угольника. Если сторона квадрата равняется r√2, т. е., по условию, √2, а, следовательно, площадь его = 2, то отсюда легко вычисляется и само π, равное, как известно, 3,14159265…

с) Это представление π как площади круга с радиусом, равным единице, подчёркивает в π момент выявленности внутреннего содержания, как бы дорастания его до степени явленности, до степени полной и законченной очерченности. Единица в диалектическом смысле есть полагание как таковое. Провести окружность каким бы то ни было радиусом—значит дать некую фигурность, ориентированную на неви–г димый центр, и притом так, что каждый момент этой фйгурности ориентирован совершенно одинаковым образом и фигурность возвращается сама к себе, будучи некоей самодовлеющей явленностью. Провести же окружность радиусом, равным единице, — значит получить фигурность, которая своей внутренней сущностью призвана к тому, Чтобы демонстрировать самодовлеющую явленность энергийной единичности, как бы ее обтекающую выраженную полноту, эманативнофигурную ограниченность и скомпонованность или, если угодно, внешнюю размерность. Число π демонстрирует нам то постоянное отношение, которое существует между этой внешне–эманативной размерной полнотой и внутренним содержанием этой полноты. В наивной форме это и понимается в математике как «предел отношения окружности к диаметру».

Позже мы не раз столкнемся именно с такой интуицией, лежащей в основе построения числа.

d) Между прочим, трансцедентность числа π, в логическом смысле, яснейшим образом вытекает из понимания его как некоей предельной площади. В последнем из приведенных математических выражений мы, с одной стороны, имеем бесконечный рост количества сторон вписанного многоугольника, с другой стороны—бесконечное нарастание его площади. Эти две бесконечности вплетены одна в другую, и потому их результат есть становление становления в пределе, т. е. число трансцедентное.

1. Линдеман обобщил бывшую до него теорему о невозможности для числа е быть корнем уравнения, в котором коэффициенты и показатели являются целыми рациональными числами. А именно, он доказал, что в этом случае коэффициенты могут быть любыми, а показатели — различными между собою алгебраическими числами. Частным случаем этой теоремы Линдемана оказывается то, что в уравнении

е ^х= а

числа х и а не могут быть одновременно алгебраическими числами (кроме х = 0, т. е. а= 1). Иначе е в алгебраической степени было бы алгебраическим числом, что после теоремы исключается. Значит, если мы имеем показательную функцию от алгебраического аргумента, то она оказывается числом трансцедентным. Точно так же натуральный логарифм алгебраического числа обязательно есть тоже трансцедентное число. Кроме того, А. Гельфонд доказывает, что ^ω1, где ω—алгебраическое число, тоже трансцедентно  [899]. Но из соотношения 1+ e ⁿⁱ= 0 следует, что (—1)' = е ^–n. Следовательно, по Гельфонду, е ^–птоже трансцедентно. Но тогда трансцедентно и е ^п.

2. Все эти заключения (и подобные им) таят под собою ряд неосознанных интуиций, без вскрытия которых невозможно философское понимание предмета.

а) Прежде всего зададим себе вопрос: что значит вообще степень Трансцедентного числа? Как будет особо разъяснено ниже, в § 118, возведение числа в степень есть его алогический органический рост. Возвести число в степень—это значит повторить его как именно его самого в каждом его отдельном моменте, воспроизвести его самого в каждом отдельном моменте. Органический рост, это и есть возведение в степень. Но как же это возможно в отношении трансцедентного числа? Ведь трансцедентное число уже вмещает в себе все свое инобытие, т. е. все свои возможные инобытийные самовоспроизведения. О каком же еще воспроизведении может идти речь?

Тут мы должны вспомнить, что трансцедентное число вовсе не есть застывшая в себе данность, хотя бы эта данность и была полной. Трансцедентное число есть переполнение числа своим инобытием, излияние числа в инобытие, выразительная эманация числа. Отсюда— степень трансцедентного числа только и можно понимать как результат его эманации в инобытии, т. е. как установление какого–нибудь нового числа, инобытийного в отношении данной трансцедентности.

b) Рассуждая таким образом, мы можем получить—в качестве результата эманации трансцедентного, — во–первых, опять все такое же трансцедентное число. Что это значит? Это значит, что из данной трансцедентности эманировало бытие, которое, ставши таковым (т. е. инобытием в отношении данной трансцедентности), само возымело в свою очередь трансцедентные особенности и само стало способным к порождению эманаций. Результатом эманации может быть, во–вторых, и алгебраическое число. Когда трансцедентное число возводится в трансцедентную степень, мы получаем алгебраическое число. Повидимому, тут происходит двойная эманация: с одной стороны, эманирует из данной трансцедентности новая, инобытийная, а с другой— поскольку первоначальная трансцедентность возводилась в трансцедентную же степень, то данной эманации хватило не только на продуцирование новой трансцедентности, но и на дальнейшее продуцирование еще алгебраического числа из этой новой трансцедентности. Наконец, результатом эманации может быть и комплексное число. Здесь мы, кажется, тоже имеем дело с двойной эманацией, когда эманированный продукт не только есть инобытие, трансцедентное или алгебраическое, но это инобытие еще и приняло новую форму, именно комплексную.