Тут, как видим, совсем не входит ι. И это понятно почему. Ведь луч получает тут все время вещественное приращение, в то время [как] для круга он остается постоянно вещественно равным самому себе, а приращение его выражается мнимыми единицами и переходит в построение самой окружности. Поэтому спираль, на основании указанного ее уравнения, мы мыслим обязательно вещественно, а окружность, на основании упомянутого приращения радиуса, мы мыслим как мнимую (хотя как 2пг или как x ²+y ²=z ²она вполне вещественна). Это кладет принципиальное отличие между обеими кривыми с анализируемой здесь точки зрения на них.

При всем том, однако, между обеими кривыми существует глубочайшее сходство. Обе они развертываются на основе логарифмического возрастания луча–единицы. Другими словами, обе они одинаковым образом появляются из е, из трансцедентного. Обе они суть, в общем, Одинаковые эманации трансцедентного. Именно для того и другого трансцедентное должно выйти за свои пределы; оно должно излиться в реальных эманациях и облечься некой телесностью, выразительносмысловым телом. Оно может по–разному конструировать это тело. Оно может оставить его лри себе, употребивши его всецело на выражение своих собственных глубин, так что тело это не уйдет в бесконечное становление, но его становление будет иметь только единственную функцию—выражать и выявлять трансцедентное, не растекаясь, но всегда возвращаясь в себя и ориентируясь вокруг себя же самого. Таков круг, окружность которого является не вещественным, а чисто идеальным (или мнимым) оформлением. Это—мнимая степень е. С другой стороны, трансцедентное может исходить такими эманациями, которые уже не дадут мнимого, т. е. только смыслового тела, но перейдут в реальное становление, в вещественную эманацию. Образ вещественных (а не только идеально выразительных) эманаций трансцедентного есть спираль, а именно логарифмическая спираль. На этом мы отчетливо видим все сходство и несходство двух рассматриваемых кривых.

с) Итак, e ^xiесть символ идеально выраженной эманации трансцедентного, или образ облачения трансцедентности в адекватно выражающее его тело. Окружность, которая конструируется при помощи этой показательной функции, оказывается образом выразительного оформления и воплощения трансцедентности, расцветшей здесь до степени самодовлеющей, постоянно возвращающейся к себе самой и саму себя обтекающей полноты действительности.

Только теперь мы можем начать разгадывать тайну тригонометрических функций.

5. а) Выше (п. Зb) мы получили чисто аналитически, что

e ^xl= cosx+ismx.

Получивши это выражение аналитически, мы в нем ровно ничего не понимали, оставаясь только при голом факте загадочного и таинственного вывода. Последующее показало нам, что такое e ^xi. Теперь посмотрим, что такое правая часть этого равенства и в чем заключается ее смысл. Это и есть вопрос о сущности тригонометрических функций.

Взглянувши на [рис. 9 ], мы сразу начинаем догадываться, что если угол РОЛ считать за х, то ОМ есть cosx, a MP есть sin* (или, имея в виду концепцию Гаусса, MP=isin л). Отсюда нетрудно вывести и формулы Эйлера. Меняя xi на (—χί), имеем

е ^…xi=cos χ—isin χ,

причем под (—χ) надо будет, очевидно, понимать угол МОР, а под его sin—перпендикуляр МР ₁. Отсюда, решая оба эти уравнения относительно cos.υ и sin χ, мы получаем окончательно:

что имеет вполне ясный не только аналитический, но и геометрический смысл (поскольку e ^xtесть не что иное, как ОР, a e– ^xiесть ОΡ ₁).

В чем же, теперь, философский смысл этих формул Эйлера?

b) Обратим прежде всего внимание на то, что мнимая степень е может быть понята как комплексное число. Другими словами, всякое комплексное число может быть понято как мнимая степень е, т. е. как выразительная эманация трансцедентного. Но комплексное число, как мы знаем (§ 107), есть перспективный символ. Следовательно, всякая перспектива обязательно таит в себе эманацию трансцедентного; и трансцедентное эманирует, в выразительном смысле, перспективно. Когда мы имеем просто е, то перед нами тут некое бытие, овеянное тающими энергиями смысла, но эти энергии еще положены как выразительный образ. Когда же мы имеем мнимую степень е, то исходящие из него смысловые энергии складываются в некую образную положенность, в некое выразительное самообрекание, и это есть перспективная структура эманаций трансцедентного. Всматриваясь в эту перспективную выразительность, мы отчетливо видим начальный пункт этой перспективы и отчетливо видим ее конечный пункт. Также перспектива существует только там, где видны малейшие изгибы перспективных линий и зрительно–выразительная судьба всей вещественной предметности, втянутой в эту перспективу. Когда трансцедентное реально изливается в инобытие, оно превращает свою идеально выразительную, смысловую перспективу в вещественную и субстанциальную стихию действительности; тогда оно теряет свою мнимость, спиралевидным вихрем изливаясь в реальность. Но пока оно не изошло вовне, а только еще бурлит в себе смысловыми энергиями самопроявления, оно содержит всю свою возможную инобытийную образность в своем собственном умном теле, содержит ее пока только лишь как цель, как идеал, как отраженную только в самой себе действительность. Но это и значит, что трансцедентное покоится в себе кругообразно, играя образами перспективных самоотражений. Тут–то и залегает целый ряд трансцедентных функций—тригонометрических, гиперболических, эллиптических, — из которых нас интересуют именно тригонометрические.

Из предыдущего ясно, что тригонометрический косинус в комплексном представлении мнимой степени е есть не что иное, как вещественная часть, а синус—коэффициент при мнимой части комплекса. Другими словами, линия косинуса является как бы тем началом, откуда мы считаем перспективу, а линия синуса—тем направлением, в котором мы созерцаем перспективу. Эманационно возникшая перспектива имеет ведь свою структуру, определяемую известным изгибом линий и тем или другим расположением точек. Синус есть измеритель расстояния перспективной точки от линии отсчета, как бы расстояние отраженной в зеркале точки от поверхности зеркала. Косинус же есть отображение перспективной точки на линии отсчета; это—проекция модуля комплексного числа на неподвижный радиус. Когда мы имеем просто е ^хмы, с увеличением х, все больше и больше раскрываем угол, т. е. все больше и больше выявляем внутреннее содержание круга, как бы все больше и больше захватываем пространство в идеально выразительном теле трансцедентности, все шире и шире заполняем эманацию трансцедентного выразительным оформлением. Ясно, что здесь начинает рисоваться образ трансцедентности, который как–то должен быть зафиксирован и зафиксирован не мертво и устойчиво, но—энергийно, в точной связи с раскрываемым эманационным содержанием. Тригонометрические функции как раз и призваны дать ориентацию в этом эманационном образе трансцедентного. Синус указывает на размеры и направление раскрывающейся в этом образе перспективности, а косинус интерпретирует ее с точки зрения ее исходного пункта. Синус—это перспектива с точки зрения ее конечного пункта, а косинус—перспектива с точки зрения ее начального пункта.

с) В настоящем месте нашего исследования мы, однако, не станем развивать подробно теорию тригонометрических функций, так как их удобнее будет рассмотреть в другом месте. Ясно, что если мы усвоили себе этот исходный пункт, то можно будет подвергнуть философской интерпретации и прочие четыре тригонометрические функции, так как тангенс есть только отношение синуса и косинуса, а котангенс, секанс и косеканс есть только обратные функции соответственно тангенса, косинуса и синуса. Но нам необходимо было прикоснуться к тригонометрическим функциям хотя бы слегка, чтобы проследить диалектическую судьбу трансцедентного числа е.