Таким образом, диалектическая сущность того, что половина наших произведений оказалась отрицательной, сводится как раз к тому, что в данном случае мы их понимаем как неизвестные, которые должны быть найдены, определены при помощи той или иной перестановки их сомножителей, т. е. отрицательность этих произведений есть результат того, что общеколичественная сторона нашего анализируемого числа и система актов его полагания вступили одна с другой во всестороннее диалектическое взаимоопределение. Это сразу становится видно, как только мы воспользуемся детерминантами для решения системы уравнений. Минусы, с которыми входит половина всех произведений, составляющих детерминант, как раз определены тем, что мы переносили в разных уравнениях неизвестные с одной стороны на другую и потом подставляли в другие уравнения, перенося их после необходимых выкладок, может быть, и еще раз в другую сторону, чтобы отделить неизвестные от известных величин, получившихся в результате подстановок; другими словами, эти минусы вызваны именно тем, что мы приступили к решению уравнений и нахождению неизвестных, т. е. вознамерились найти непосредственный количественный смысл неизвестных при помощи определенной группировки их коэффициентов.
4. С внешней стороны детерминант производит довольно громоздкое впечатление. Этому способствуют также многие технические способы оперирования с детерминантами, находимые нами в математической практике. Напр., правило Сарруса для вычисления детерминанта удивляет своей внешней механичностью. Такова же и теорема Крамера для решения системы уравнений при помощи детерминантов. Внешняя громоздкость увеличивается учением о минорах, об адъюнктах, о сложении и умножении и т. д. Тем не менее должен быть какой–то простейший логический принцип для всей этой технической сложности, какая–то простейшая диалектическая категория, которая бы позволяла обнять все эти многочисленные числа и операции в одном простом единстве. Этот принцип и эту категорию мы и находим в синтезе количественно–смысловой и количественно–фактической сторон числа, в синтезе чистого количества с чистыми актами полагания, причем то и другое появляется здесь в диалектически развитом виде. Берется чистое количество в развитом виде, берется акт полагания в развитом виде, и дается синтез того и другого тоже в развитом виде. Диалектически же развитой мы считаем ту смысловую установку, которая прошла по крайней мере три диалектических шага.
Отсюда понятной является и нижеследующая схема диалектического развития понятия детерминанта. В этой схеме категории I, II и III и категории 1, 2, 3 связаны между собою элементарной диалектической триадой. Все же вместе связано тут как то целое, которое появляется в результате диалектического взаимоопределения двух главных элементов числа—количественного смысла и актов полагания, принципиально таящихся во всяком числе, но здесь призванных создать из своего взаимоопределения новую диалектическую категорию.
5. Необходимо заметить, что детерминант можно понимать и не чисто арифметически. Под арифметикой (§ 81) мы понимаем оперирование над непосредственными значениями чисел в отличие от их функциональных отношений, относимых нами к алгебре и анализу. Детерминанты могут в этом смысле иметь чисто арифметическую природу. Но существуют еще функциональные детерминанты, место рассмотрения которых в алгебре. Существуют детерминанты бесконечного порядка, у которых строки или столбцы обладают признаками сходящегося ряда. Место этих детерминантов, конечно, в анализе, равно как и рассмотрение детерминантов в целях решения системы уравнений относится к алгебре (в случае обыкновенных линейных уравнений) или к анализу (в случае дифференциальных линейных уравнений с постоянными коэффициентами).
1. Детерминант представляет собою наиболее зрелый диалектический продукт ставшей сущности арифметического числа, понимаемого как отдельное число. Однако ставшая сущность числа отнюдь не есть только отдельное число. Наоборот, ставшая сущность, как мы видели в § 120, есть остановившееся становление числа, а таковое всегда предполагает некоторую как бы объемность, т. е. множественность и раздробленность, или комбинацию, систему чисел. Детерминант возник на почве диалектики отдельного числа, а ставшая сущность числа есть комбинация чисел. Отсюда сам собой возникает переход от безразличной общности комбинации к ее единораздельной системе. И теперь должна быть на очереди не просто система чисел вообще, для которой известен только общий принцип ее построения (отношение, пропорция, ряд), но и система чисел как именно система, т. е. сиетема во всей положенности своих элементов. С другой стороны, поскольку наша диалектика уже достигла зрелости детерминанта, новая категория должна вместить в себе достигнутую ступень и новое понятие должно быть образовано на основе учения о детерминанте. Такой категорией и является матрица.
2. а) После изучения детерминанта матрица оказывается и чем–то простым, уже известным, и чем–то безусловно новым. С одной стороны, матрица почти ничем не отличается от детерминанта. Она есть таблица чисел, но и детерминант пишется в виде таблицы чисел. И если из матрицы можно получить известное количество дeтepминaнτoв, то и всякий детерминант возможен только потому, что существует определенная матрица. Однако, с другой стороны, между детерминантов и матрицей существует и огромное различие. В основном оно сводится к тому, что детерминант всегда есть определенное число, матрица же есть система чисел. Это и заставило нас детерминант объединять с комбинированной представимостью отдельного числа, а матрицу—с числом, понимаемым как система. Детерминант есть отдельное число как система чисел, матрица же есть система чисел как система чисел. Это сразу накладывает неизгладимый математически–диалектический след на понятие матрицы, не только расширяя прежнее понятие детерминанта, но и дополняя его некоторыми совершенно не бывшими до того особенностями.
b) Если бы мы захотели представить себе более конкретно диалектическую сущность матрицы, мы должны [были] бы выдвинуть тут на первый план понятие комплекса, уже хорошо известное нам из теории мнимостей (§ 105) и из теории гиперкомплексных чисел (§ 113). Попробуем в этом разобраться.
Мы можем рассматривать комбинацию вещей, состоящую, напр., из 5 яблок, 3 орехов и 2 конфет. Это будет некоторая система чисел, которые в старой арифметике называли именованными. Но мы можем отвлечься от яблок, орехов и конфет и вообще от всяких вещей, но все же продолжать рассматривать соответствующие числа как состоящие из различных единиц. Мы забудем о вещах, но мы все же будем помнить* что пятерка состоит у нас не из тех единиц, из каких тройка, а тройка— не из тех, из каких двойка. Это помешает нам складывать 5 + 3 + 2 в одну безразличную сумму, как мы не могли без всяких предварительных условий попросту сложить 5 яблок, 3 ореха [и] 2 конфеты. Такие числа называются, вообще говоря, комплексными и записываются так, чтобы их система не поглощала каждое из них до полного безразличия, но чтобы каждое оставалось самостоятельным. Наше комплексное число мы запишем в данном случае примерно так: (5, 3, 2).
Примеры этих комплексов мы находили в теории мнимостей, где величина а+Ы была такова, что невозможно было не считаться с индивидуальными особенностями тех единиц, из которых состоит а и состоит bi, — откуда и соответствующая запись. В теории гиперкомплексных чисел мы нашли т. н. кватернионы (§ 113), которые, являясь комплексом четырех разных единиц, так и действовали у нас со всей этой несводимостью одной единицы на другую.
Вот таким же точно «числом», вернее, системой чисел является и матрица. Она, конечно, не есть безразличное собрание каких угодно чисел. Она все же есть нечто целое, которое во всех своих элементах управляется определенным законом. Однако это не то целое, каким является, напр., арифметическая или геометрическая прогрессия и где целое не дано конкретно во всех своих элементах, а только в известном законе его построения. Матрица—это есть система чисел, которая хотя и является чем–то закономерно–целым, но в которой каждое отдельное число положено не просто принципиально, но во всей своей фактической индивидуальности.