Топология

Тополо'гия (от греч. tо'pos — место и ¼логия ) — часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела). Разнообразие проявлений непрерывности в математике и широкий спектр различных подходов к её изучению привели к распадению единой Т. на ряд отделов («общая Т.», «алгебраическая Т.» и др.), отличающихся друг от друга по предмету и методу изучения и фактически весьма мало между собой связанных.

  I. Общая топология

  Часть Т., ориентированная на аксиоматическое изучение непрерывности, называется общей Т. Наряду с алгеброй общая Т. составляет основу современного теоретико-множественного метода в математике.

  Аксиоматически непрерывность можно определить многими (вообще говоря, неравносильными) способами. Общепринята аксиоматика, основывающаяся на понятии открытого множества. Топологической структурой, или топологией, на множестве Х называют такое семейство его подмножеств, называемых открытыми множествами, что: 1) пустое множество Æ и всё Х открыты; 2) объединение любого числа и пересечение конечного числа открытых множеств открыто. Множество, на котором задана топологическая структура, называют топологическим пространством . В топологическом пространстве Х можно определить все основные понятия элементарного анализа, связанные с непрерывностью. Например, окрестностью точки x Î X называют произвольное открытое множество, содержащее эту точку; множество A Ì X называют замкнутым, если его дополнение Х \ А открыто; замыканием множества А называют наименьшее замкнутое множество, содержащее A ; если это замыкание совпадает с X , то А называют всюду плотным в Х и т.д.

  По определению, Æ и Х являются одновременно замкнутыми и открытыми множествами. Если в Х нет других множеств, одновременно замкнутых и открытых, то топологическое пространство Х называют связным. Наглядно связное пространство состоит из одного «куска», а несвязное — из нескольких.

  Любое подмножество А топологического пространства Х обладает естественной топологической структурой, состоящей из пересечений с А открытых множеств из X . Снабженное этой структурой А называют подпространством пространства X . Каждое метрическое пространство становится топологическим, если за его открытые множества принять множества, содержащие вместе с произвольной точкой некоторую её e-окрестность (шар радиуса e с центром в этой точке). В частности, любое подмножество n -мерного евклидова пространства

 является топологическим пространством. Теория таких пространств (под названием «геометрической Т.») и теория метрических пространств включаются по традиции в общую Т.

  Геометрическая Т. довольно четко распадается на две части: изучение подмножеств

 произвольной сложности, подчинённых тем или иным ограничениям общего характера (примером является так называемая теория континуумов, то есть связных ограниченных замкнутых множеств), и изучение способов, какими в  могут быть вложены такие простые топологические пространства, как сфера, шар и т.п. (вложения в , например, сфер могут быть очень сложно устроенными).

  Открытым покрытием топологического пространства Х называют семейство его открытых множеств, объединением которого является всё X . Топологическое пространство Х называют компактным (в другой терминологии —бикомпактным), если любое его открытое покрытие содержит конечное число элементов, также образующих покрытие. Классическая теорема Гейне — Бореля утверждает, что любое ограниченное замкнутое подмножество

 компактно. Оказывается, что все основные теоремы элементарного анализа об ограниченных замкнутых множествах (например, теорема Вейерштрасса о том, что на таком множестве непрерывная функция достигает своего наибольшего значения) справедливы для любых компактных топологических пространств. Это определяет фундаментальную роль, которую играют компактные пространства в современной математике (особенно в связи с теоремами существования). Выделение класса компактных топологических пространств явилось одним из крупнейших достижений обшей Т., имеющих общематематическое значение.

  Открытое покрытие {V _b } называют вписанным в покрытие {U _a }, если для любого b существует a такое, что V _b Ì U _a . Покрытие {V _b } называют локально конечным, если каждая точка х Î Х обладает окрестностью, пересекающейся только с конечным числом элементов этого покрытия. Топологическое пространство называют паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие. Класс паракомпактных пространств является примером классов топологических пространств, получающихся наложением так называемых условий типа компактности. Этот класс очень широк, в частности он содержит все метризуемые топологические пространства, то есть пространства X , в которых можно ввести такую метрику r, что Т., порожденная r в X, совпадает с Т., заданной в X .

  Кратностью открытого покрытия называют наибольшее число k такое, что найдётся k его элементов, имеющих непустое пересечение. Наименьшее число n, обладающее тем свойством, что в любое конечное открытое покрытие топологического пространства Х можно вписать открытое покрытие кратности £n + 1, обозначается символом dimХ и называется размерностью X . Это название оправдано тем, что в элементарно-геометрических ситуациях dimХ совпадает с обычно понимаемой размерностью, например dim

= n . Возможны и др. числовые функции топологического пространства X , отличающиеся от dimX , но в простейших случаях совпадающие с dimX . Их изучение составляет предмет общей теории размерности — наиболее геометрически ориентированной части общей Т. Только в рамках этой теории удаётся, например, дать чёткое и достаточно общее определение интуитивного понятия геометрической фигуры и, в частности, понятия линии, поверхности и т.п.

  Важные классы топологических пространств получаются наложением так называемых аксиом отделимости. Примером является так называемая аксиома Хаусдорфа, или аксиома T ₂ , требующая, чтобы любые две различные точки обладали непересекающимися окрестностями. Топологическое пространство, удовлетворяющее этой аксиоме, называется хаусдорфовым, или отделимым. Некоторое время в математической практике встречались почти исключительно хаусдорфовы пространства (например, любое метрическое пространство хаусдорфово). Однако роль нехаусдорфовых топологических пространств в анализе и геометрии постоянно растет.

  Топологические пространства, являющиеся подпространствами хаусдорфовых (би) компактных пространств, называются вполне регулярными или тихоновскими. Их тоже можно охарактеризовать некоторой аксиомой отделимости, а именно: аксиомой, требующей, чтобы для любой точки x

 Х и любого не содержащего её замкнутого множества F

 Х существовала непрерывная функция g : Х ® [0, 1], равная нулю в x и единице на F .