Курс математического анализа в Политехнической школе ведет первый математик Франции Эрмит, имя которого пользуется авторитетом в широких научных кругах Европы. Механику Пуанкаре слушает в изложении выдающегося ученого Резаля. Геометрию преподает достаточно известный в то время математик Маннгейм. Астрономию читает прекрасный астроном Фэй. Физика находится в ведении Корню, ставшего впоследствии председателем Французского физического общества. По окончании учебного года политехники сдают чрезвычайно строгие экзамены. Среди экзаменаторов имеются такие известные в научном мире имена, как Жордан (по математическому анализу), Брессе (по механике), Кабар (по физике). Помимо физико-математических дисциплин, учащимся преподаются химия, начертательная геометрия, черчение, фортификация, архитектура и даже история и литература.

Общение с прославленным Эрмитом создает у слушателей ощущение непосредственной причастности к великому таинству математического творчества. Он любит начинать свою лекцию словами: «Начнем с тождества…», после чего на доске появлялась формула, в точности и подлинности которой можно было не сомневаться, хотя лектор не считал нужным посвящать аудиторию в загадку ее происхождения. С этого отправного пункта Эрмит увлекал своих слушателей в захватывающее путешествие через удивительные математические метаморфозы и преобразования, пока они не достигали заветного результата. Казалось, что все излагаемые им идеи рождаются прямо на их глазах, что они присутствуют на потрясающем сеансе неповторимой математической импровизации.

Однажды Эрмит заболел, и заменял его Лагерр, еще одна математическая знаменитость. Кто-то из однокурсников попросил Анри объяснить сложнейшее доказательство, которое Лагерр провел на лекции. Но Анри по обыкновению не сделал записи и решил по памяти воспроизвести все выкладки. На очередном занятии репетитор Альфан вызывает к доске как раз того студента, которому Анри давал разъяснения. Внимательно выслушав ход его рассуждений, преподаватель пронизывающим взором окидывает фигуру у доски и спрашивает: «Это твое доказательство?» — «Это твое доказательство?» — как эхо переспрашивает незадачливый студент, обращаясь к Пуанкаре. Переждав, пока затихнет взрыв смеха в аудитории, Альфан удовлетворенно произносит: «Тогда я не удивляюсь». Через некоторое время Лагерр, которому Альфан рассказал об этом забавном эпизоде, подозвал к себе Анри и сообщил ему, что данное им доказательство является более простым, чем приведенное на лекции. «Не найдете ли вы время для того, чтобы заменить в отпечатках лекций мой метод доказательства вашим?» — обратился он к Пуанкаре с неожиданной просьбой.

Не только математики Политехнической школы приметили одаренного юношу. Благодаря Аппелю у него завязывается близкое знакомство с некоторыми преподавателями Высшей Нормальной школы, в частности, со знаменитым математическим дуэтом — Брио и Буке.

Еще со времени учебы в Нормальной школе между Шарлем Брио и Жаном Буке завязалась прочная дружба. После окончания школы в 1841 году они разъехались в различные провинциальные коллежи преподавать математику. Судьба вновь свела их вместе на Факультете наук в Лионе. С этого момента их дружба переросла в тесное плодотворное сотрудничество. В математике вообще большая редкость творческое содружество двух ученых, а во французской математике того времени это был единственный в своем роде пример. В середине XIX века друзья перебрались в Париж. Буке в течение двадцати лет преподавал в парижских лицеях, а затем занял должность профессора математики в Сорбонне и вел курсы механики и астрономии в Нормальной школе. Брио сначала преподавал в Нормальной школе, а впоследствии возглавил кафедру математической физики в Парижском университете. Известность и славу обоим математикам принесла их совместная монография 1856 года, в которой они сформулировали основную задачу теории дифференциальных уравнений. Их основополагающий труд определил развитие этой теории на целые десятилетия, став поворотным пунктам в учении о дифференциальных уравнениях. Фундаментальное сочинение оказало влияние практически на всех, кто в последующие годы работал в этой области математики. Не избежал этого влияния и Пуанкаре, со студенческих лет испытавший в непосредственном общении с замечательными математиками их стимулирующее воздействие. Его первые научные изыскания будут связаны именно с теорией дифференциальных уравнений, с дальнейшим развитием и обобщением идей и методов Брио и Буке. Но все это в будущем, а пока Анри делает скромные попытки к самостоятельному научному творчеству. Например, он пытается усовершенствовать теорию эллиптического маятника, которую им излагал на лекциях Резаль.

Аппель был не единственным близким ему человеком в Париже. Здесь обитали супруги Ринк, сын которых учился вместе с Пуанкаре. Мадам Ринк взяла на себя добровольную обязанность опекать Анри. Она была прекрасно осведомлена о его рассеянности и непрактичности.

Как только он появлялся в их доме, она тут же заботливо осматривала его форму, проверяла состояние его перчаток и плаща и в случае необходимости принимала меры к устранению любых неполадок в его туалете. В этом семействе Анри находил пусть крохотное, но теплое облачко атмосферы родного города. Он был даже согласен выслушивать бесконечные рассуждения мсье Ринка о шансах какой-либо лошади на предстоящих весенних скачках в Лоншане или в который уже раз рассматривать его коллекцию почтовых марок. Все интересы добрейшего мсье Ринка были сосредоточены на этих двух увлечениях, в которые он старался посвятить всех и каждого.

Большая дружба с этим семейством сохранялась у Пуанкаре долгие годы.

Миновав внушительные бронзовые двери, мадам Пуанкаре и Алина вступили на бесконечную узкую лестницу, ведущую наверх. Преодолев не одну сотню ступеней и тяжело дыша после длительного восхождения, мать и дочь растерянно взирали на раскинувшееся перед ними море черных кровель и церковных шпилей, скрывавших невидимую, но тем не менее явственно угадываемую извилистую ленту Сены. Раза два за год они приезжали в Париж, чтобы провести с Анри день-другой. Но не всегда удавались им эти свидания. В Политехнической школе царил строгий казарменный режим, и случалось порой так, что как раз во время их приезда студент Пуанкаре не получал увольнительной. Чтобы увидеть его хоть издали, мадам Пуанкаре прибегала к этому наивному ухищрению. Возвышавшееся по соседству здание Пантеона господствовало над всей округой. Поднявшись на галерею купола, они могли видеть внизу закрытый со всех сторон мощеный двор школы, а на нем стоящую в стороне от других крохотную фигурку. На глаза Алины то ли от царившего наверху порывистого ветра, то ли по другой какой причине наворачивались непрошеные слезы, мешая ей видеть, а мадам Пуанкаре приветственно махала белым платком. Это был единственный вид контакта, который они могли себе позволить в такой неудачный день.

Положение политехников мало чем отличалось от положения курсантов военных училищ. Поскольку Политехническая школа была основана в самые тяжелые годы революции, то для ее воспитанников сразу же был установлен военный уклад. Но узаконенная военизация учебного заведения произошла в 1804 году. Когда в мае этого года сенат провозгласил Наполеона императором, студенты-политехники, воспитанные в духе республиканских традиций, в знак протеста отказались принести присягу верности императору. Наполеон решил усмирить школу, подчинив ее военному режиму. Декретом от 16 июля это желание императора обрело силу закона. Политехническую школу перевели на военное положение и передали в ведение военного министра. Из учащихся сформировали батальон, состоящий из пяти рот. Командовал школой генерал, которому помогали командир батальона, два капитана и несколько лейтенантов. Во время учебы политехники числились на военной службе и размещались в интернате на казарменном положении. Им было предписано обязательное ношение формы, которая должна была подчеркнуть их особый статут и выделить их среди учащихся других учебных заведений. Коронованные особы надеялись, что в военизированном учебном заведении им легче будет держать в руках вечно бунтующую молодежь. Но эти надежды не всегда оправдывались. Во время Реставрации и позже политехники при каждом удобном случае демонстрировали свою приверженность идеалам республики и принимали самое активное участие в революционных событиях 1830 и 1848 годов.