Все сказанное позволяет дополнить приведенное ранее определение существования. Математический объект существует постольку, поскольку сконструирован. Однако математика не есть простое конструирование объектов. Она представляет собой решение задач, а потому каждый объект появляется в ней в рамках более общей структуры, продуцируемой познавательными способностями для того, чтобы получить такое решение. Значит объект существует, поскольку встроен в такую структуру в виде ее элемента. Сама структура предстает как конструкция способности воображения и о ней также может быть поставлен вопрос - в рамках какой еще более общей структуры она существует. Разум не может представить, как налично реализованную, совокупность структур, последовательно включенных друг в друга в виде бесконечной конструкции. Поэтому вопрос о существовании требует для своего полного разрешения введения регулятивных понятий. В математике поэтому неизбежны представления о бесконечных совокупностях, в рамках которых существуют частные математические объекты. Для естествознания таким регулятивом выступает понятие о мире, в котором может быть реализовано сколь угодно много теоретических структур.

Необходимо, впрочем, иметь в виду, что в "Критике способности суждения" нет речи о существовании, тем более о существовании математических объектов. Кантовское решение проблемы существования связано с рассмотрением категорий модальности, чем мы подробно займемся в Главе 3. Но сразу можно сказать, что это рассмотрение не будет полным без учета принципа целесообразности. С другой стороны, мы вплотную подошли к тому пониманию существования, которое связали в Введении с именем Кассирера. В рамках нашей интерпретации кантовского определения рефлектирующей способности суждения всякий объект считается существующим тогда, когда определено его место в некоторой структуре, разворачиваемой согласно установленному правилу (логической форме). Более того, теперь можно яснее сказать о какой структуре должна идти речь - это структура теории, создаваемой на основе индуктивной догадки и объясняющей ранее установленные факты. (См. примечание 8) Впрочем, предъявление структуры не является еще достаточным условием для утверждения о существовании элементов. Необходимо указать особые свойства такой структуры - ниже мы попытаемся разобрать, как решал эту проблему Гильберт.

Примечания к Главе 1

1. Интересный и весьма скрупулезный анализ роли математических образов в философском мышлении дан В.А.Шапошниковым в [60]. вернуться в текст

2. Латинский перевод аристотелевского термина ousia. вернуться в текст

3. Подробное рассмотрение философии математики Беркли предпринято в книге Джессефа [73]. Там, в частности, разбирается теория "репрезентантов" (термин Джессефа), развиваемая Беркли как альтернатива теории абстракции. Речь идет о намерении Беркли доказать, что в математике нет никаких общих понятий, абстрагированных от единичных предметов, а есть лишь те же самые единичные предметы (т.е. идеи), которые выступают в рассуждении как представители целых классов подобных им идей. вернуться в текст

4. Пустяковые трудности. вернуться в текст

5. Следуя терминологии Беркли, лучше было бы сказать "интерсубстанциональной". вернуться в текст

6. Объектом называется то, что представлено мышлению как нечто мыслимое, точнее представлено мыслящим субъектом самому себе. "Объект есть то, в понятии чего объединено многообразие данного наглядного представления" (B137; курсив Канта). Следовательно объект всегда представляет собой результат конструирования.Именно этого значения названного термина мы и будем придерживаться в дальнейшем. В "Критике чистого разума" наряду со словом "объект" (Objekt) используется и слово "предмет" (Gegenstand), для которого не дается более или менее ясного определения. По всей видимости "предметом" можно назвать и то, что не представляется как результат конструирования. Существует мнение ( [74], с. 268), что Кант не проводит никакого ясного различения между двумя названными терминами и пользуется ими как взаимозаменяемыми. Леппакоски замечает по этому поводу, что в английском переводе "Критики чистого разума" оба слова совершенно правомерно передаются одним и тем же термином "object". Тем не менее нам представляется, что если "объектом" можно назвать только нечто реально возможное, т.е. производимое продуктивной способность воображения, то термин предмет допускает более широкое использование. Например, "множество всех действительных чисел", которое невозможно сконструировать, допустимо называть предметом, но не объектом. вернуться в текст

7. Связь категорий объект и факт нуждается в дополнительном рассмотрении. Мы проведем его в Главе 3 при сопоставлении категорий действительности и необходимости. вернуться в текст

8. Причем факты могут служить для фальсификации теории. Последнее означает, что построенный при заданных посылках объект не может быть "вписан" в теоретическую структуру. На связь попперовской идеи фальсификации с "Критикой способности суждения" указано также в [33]. Впрочем, эта связь должна быть предметом особого исследования. Равно как и связь представлений Поппера о строении научной теории с развертыванием категории "действительности" у Кассирера ([32],c. 349-400). Оба эти мыслителя строят очень похожие конструкции, связывающие частные факты с общей гипотезой. вернуться в текст

ГЛАВА 2 Интерпретации существования в математике

  1 Основные стратегии доказательства существования

Важной задачей, которую мы должны решить, проводя исследование онтологии математического дискурса, состоит в выяснении тех традиционных способов, которыми математика устанавливает существование своих предметов. Для этого следует обратить внимание на математические предложения, утверждающие о чем-либо, что оно "существует". Рассмотрение доказательств таких предложений позволяет понять, в каком смысле употреблено в нем это слово. Способ доказательства существования проясняет, прежде всего, интерпретацию существования в том или ином утверждении.

Если попытаться разобрать основные математические тексты (т.е. тексты, производимые математиками разного класса и уровня и читаемые в сообществе, имеющем к математике какое-либо отношение), то при самом поверхностном анализе можно увидеть три способа доказательства существования и, соответственно, три способа определить онтологический статус предмета исследования.

Первый (и, возможно, наиболее распространенный) способ доказательства состоит в непосредственном построении объекта, в существовании которого предстоит убедиться. В качестве классических областей применения такого рода доказательств принято указывать евклидову геометрию, алгебру и, отчасти, теорию чисел [18]. Однако, важно понимать, что его употребление вполне естественно и для вполне "нефинитных" областей, например, для функционального анализа. Чтобы обратить внимание на некоторые важные особенности такого способа доказательства, уместно обратиться к примеру. Одна из известных теорем функционального анализа утверждает, что для любого сжимающего отображения произвольного полного метрического пространства в себя существует единственная неподвижная точка этого отображения. Это утверждение доказывается так: в метрическом пространстве выбирается произвольная точка, данное сжимающее отображение применяется сначала к этой точке, потом к получившемуся в результате его применения образу этой точки, потом к образу образа и т.д. Выясняется, что возникающая при этом последовательность имеет предел и этот предел - точка пространства, не изменяющаяся при применении к ней данного отображения.

Как в формулировке этой теоремы, так и в ее доказательстве фигурируют лишь общие термины. Доказательство, однако, проведено так, что все общие термины в нем можно заменить на единичные. Так, задав некоторое полное метрическое пространство (допустим, фиксированный отрезок прямой линии), т.е. указав вполне определенный единичный предмет, обладающий всеми требуемыми свойствами, и задав какое-то конкретное сжимающее отображение на нем, мы можем, пользуясь прописанной в доказательстве схемой, указать на некоторый, также вполне определенный, единичный предмет, обладающий всеми требуемыми свойствами (т.е. являющийся неподвижной точкой отображения). Указание единичного предмета - важнейший момент такого рода рассуждений. Хотя само оно и проводилось как бы абстрактно, т.е. безотносительно каких-либо единичностей, однако возможность работы с ними и составляет его реальный смысл. Любой, включенный в рассуждение индивидуальный предмет получает в ходе его полную определенность (ясность онтологического статуса) в силу его отличимости от любого другого предмета, указанного каким-либо иным способом. Итак, о каком-либо предмете можно сказать, что он существует, если приведена конечная схема, которая, будучи применена к указанному вполне определенному объекту (или конечному набору объектов), приводит к построению рассматриваемого предмета. Тот факт, что схема, на которую мы ссылались в нашем примере, содержала построение бесконечной последовательности, еще не нарушает конструктивности определения существования. Предел последовательности есть вполне определенный объект, построение которого, при заданной сходящейся последовательности, вовсе не требует таких запредельных абстракций, как актуальное предъявление всей бесконечной последовательности. Выяснить, например, что последовательность xn = 1/2n сходится к 0, можно с помощью легко завершаемой процедуры. Последнее верно, конечно, не для любой последовательности. Но в разобранном нами примере такую последовательность указать можно. (Например, если задать отображение, которое каждой точке отрезка будет ставить в соответствие точку, расположенную в два раза ближе к фиксированному концу отрезка.) Но именно эта возможность и важна для определения существования в конструктивном смысле. Слово "существует" в рамках рассмотренной нами интерпретации должно быть прочитано именно как "существует единичный предмет, на который можно непосредственно указать".