Выяснять принадлежит ли данный предмет указанному множеству, а также устанавливать его тождественность с другим предметом на основании закона исключенного третьего, можно лишь предположив у него наличие определенных свойств. Последнее означает, что предмет рассматривается как сущность, могущая выступать в качестве субъекта суждения. Такой предмет должен быть введен в рассуждение с помощью родо-видового определения, т.е. опять же через указание его существенных свойств. Следовательно Кантор склонен рассматривать множество именно как класс сущностей объединенных на основании определенной общности признаков. Поскольку в его теории сами множества могут рассматриваться как элементы других множеств, то значит и сами эти классы следует считать сущностями. Любая сущность-множество задается с помощью набора определяющих свойств своих элементов, через которые устанавливаются также и свойства самой этой сущности.

Объекты своей теории Кантор вводит с помощью отвлечения общих признаков, присущих классу сходных предметов. Именно так он определяет понятия мощности и порядкового типа. Обе названные характеристики он рассматривает как общее свойство множеств "возникающее путем абстрагирования от всех особенностей". В частности Кантор пишет: "Тем, что мы мыслим только о том, что является общим для всех множеств, принадлежащих одному и тому же классу, мы получаем понятие мощности или валентности" ([31], c. 248; курсив Кантора). Точно также пишет он и о порядковых типах: "Я рассматриваю целые числа и порядковые типы как универсалии, которые относятся к множествам и получаются из них, когда абстрагируются от свойств элементов" (c. 269). Из последнего отрывка очевидно, что Кантор пытается рассматривать трансфинитные числа по аналогии с конечными целыми числами. Последние действительно можно рассматривать как результат абстрагирования от особенных свойств конечных множеств. Так число четыре есть то общее, что присуще четырем яблокам, четырем ножкам стула, четырем углам квадрата и т.д. - это весьма традиционное представление, восходящее к Аристотелю. Кантор же склонен рассматривать любое множество как сущность. Оно должно считаться существующим, если каждый его элемент вполне определен. Тогда и само множество вполне определено и его существенный признак (т.е. его порядковое число) также рассматривается как вполне определенное. Кантор, по-видимому, склонен субстантивировать и эти существенные признаки. Он даже пытается описать их в аристотелевских категориях материи и формы, утверждая, что совокупность элементов множества следует рассматривать как материю порядкового числа, а порядок, существующий между этими элементами, как форму (c. 270-271). (См. примечание 1)

  3 Брауэровская интерпретация существования

Выше мы выделили такое понимание существования предмета в математике, которое основано на возможности непосредственно указать на этот предмет с помощью определенной завершенной процедуры. Иными словами, предмет существует тогда, когда может быть сконструирован. Утверждение, что такая интерпретация существования является атрибутом интуиционистской школы (существенным признаком, отличающим ее от других школ) давно стало общим местом. Выразительная формула - "esse=construi" - рассматривается (и, очевидно, не без основания) как девиз всего этого направления. Важно, впрочем, иметь в виду, что приведенная фраза принадлежит Карлу Попперу, весьма критично относившемуся к интуиционизму ([46], c. 473-479). Как бы точно ни характеризовало попперовское выражение интуиционистское понимание существования, оно нуждается в серьезном углублении.

Конструктивность математических объектов не появляется в математике интуиционистской школы как нечто само собой разумеющееся. По крайней мере для Брауэра (о котором мы и будем говорить в дальнейшем) она оказывается необходимым следствием анализа когнитивной деятельности человека. Структура математического рассуждения (как его представляет Брауэр) отражает прежде всего эту деятельность, более того, является наиболее чистым ее выражением.

Брауэровская математика (как и вся математика интуиционистской школы) чаще всего рассматривается в контексте кризиса оснований, вызванного обнаружением известных парадоксов и антиномий. Поэтому в требовании конструктивности математических объектов видят, главным образом, попытку устранить из математики самую возможность противоречия. Однако сам Брауэр, очевидно, идет гораздо дальше этой попытки. В целом ряде его работ обнаруживается не столько математический, сколько чисто философский интерес автора. Во всяком случае в тех статьях, на которые мы намерены в дальнейшем опираться, Брауэр озабочен не обоснованием корректности математических процедур, а исследованием когнитивной деятельности мысли как таковой. При этом он имеет явное намерение основать принцип существования в математике на исходных структурах мысли. Им предпринимается попытка трансцендентального анализа, призванного обосновать основные математические понятия как производные от форм интеллектуальной деятельности.

Брауэр представляет когнитивную активность человека в виде последовательности ясно отличимых друг от друга восприятий. В работе "Об основаниях математики" он писал так: "Человек наблюдает в мире последовательности событий, причинные цепи, разворачиваемые во времени. Основным феноменом этого наблюдения является сама интуиция времени, в которой происходит повторение восприятий или действий. Эта интуиция обнаруживается как последовательность моментов, разбивающих жизнь на последовательность вещей, качественно отличимых друг от друга" ([65], c. 99). Не само по себе восприятие определяет структуру мысли. Брауэр выделяет нечто, называемое "элементарный акт мысли", который описывает как "разделение моментов жизни на качественно различные части, которые, будучи разделены лишь временем, могут быть снова объединены". (См. примечание 2) Из этого, не очень ясного высказывания можно заключить, что акт мысли не есть простое действие или восприятие, связанное с определенным моментом времени. Элементарный акт мысли состоит именно в различении моментов. Иными словами элементарный акт мысли производит выделение некоторых отличных друг от друга индивидов, причем отличие их определяется разделяющими их временными промежутками. Производится, таким образом, организация времени, в котором, как в некоторой аморфной среде, выделяются фиксированные дискретные моменты. Это значит, что деятельность мысли определена двумя основными интуициями: дискретная последовательность и непрерывная среда (линейный континуум).

Естественным примером такой расчленяющей деятельности является деление отрезка прямой линии при нанесении на него последовательности точек. Само построение отрезка, отличимого от других отрезков, его выделение в качестве отдельного восприятия можно считать элементарным актом мысли. Но серия других элементарных актов, состоящих в делении построенного отрезка, позволяет различать в его пределах другие восприятия, части этого отрезка. Сами восприятия, (См. примечание 3) будучи ограничены какими-то границами (концы отрезка) могут быть безгранично делимы. Мы полагаем, что именно это имел в виду Брауэр, когда писал: "Возможность мысленного объединения нескольких единиц, связанных некоторым промежутком, никогда не исчерпывается вставлением новых единиц" ([55], c. 245). В результате процедуры деления отрезка мы структурируем ранее нерасчлененное единство и создаем определенную дискретную последовательность в пределах непрерывной среды. Таким образом мы все больше определяем эту самую среду, устанавливая отношения ее частей.

Две основные интуиции мысли находятся, следовательно, в состоянии постоянного взаимного определения и дополнения. Дискретная последовательность моментов структурирует аморфную среду, нечто постоянно недоопределенное, остающееся между названными моментами. (См. примечание 4) Приведенный нами геометрический пример является парадигмальным для описания любой когнитивной деятельности. Последняя, как видно, состоит в различении моментов восприятий в непрерывной временной среде и расчленении и уточнении самих восприятий.