Как бы то ни было, в XIX в. с его установившимися атомистическими представлениями о веществе и волновыми представлениями о свете природа уже не была прикладной геометрией. Отсюда сделали вывод, что геометрия - это не абстрактно выраженная природа, и дошли до априорности геометрии либо до ее условности.

Болезни роста излечиваются дальнейшим ростом. Иллюзии априорности и условности геометрии исчезли с дальнейшим развитием аксиоматизации и с дальнейшим развитием представлений о физических прообразах геометрии.

Прежде всего в геометрии выросли большие, разветвленные системы, которые отличались некоторыми исходными допущениями. Появление различных по исходным постулатам геометрических систем подорвало корни представления об априорной геометрии и априорном понятии пространства. Был поставлен вопрос: какова геометрия действительного мира? Имеет ли этот вопрос смысл? Эйнштейн рассматривает, во-первых, ответ Гельмгольца: понятиям геометрии соответствуют реальные объекты, и геометрические утверждения представляют собой в последнем счете утверждения о реальных телах.

70

Другая точка зрения высказана Пуанкаре: содержание геометрии условно. Эйнштейн присоединяется к ответу Гельмгольца и говорит, что без такой точки зрения практически было бы невозможно подойти к теории относительности.

Как мы увидим позже, теория относительности представляет собой попытку ответить на вопрос, какая геометрия соответствует объективной действительности, описывает действительность наиболее точным образом. Тем самым геометрия теряет характерное для логики и математики в целом безразличие к физической природе своих объектов и к физической истинности своих суждений. "Чистая математика, - писал Бертран Рассел, - целиком состоит из утверждений типа: если некоторое предложение справедливо в отношении данного объекта, то в отношении его справедливо некоторое другое предложение. Существенно здесь, во-первых, игнорирование вопроса, справедливо ли первое предложение, и, во-вторых, игнорирование природы объекта... Математика может быть определена как наука, в которой мы никогда не знаем, о чем говорим, и никогда не знаем, верно ли то, что мы говорим". Это игнорирование онтологической стороны дела теперь становится уже условным. Существуют различные пути для вывода второго предложения из первого, выбор пути зависит от содержания первого предложения и от природы объекта, к которому оно относится. Математика - в данном случае геометрия обретает онтологическую, физическую содержательность. Для Эйнштейна это значит, что содержание математических суждений должно в принципе допускать экспериментальную проверку.

Мы видим, что концепция Эйнштейна направлена как против априоризма и против представления о чисто условных математических истинах, так и против примитивной идеи тождества геометрических соотношений с "очевидными" и непреложными физическими соотношениями. Логические конструкции пе дают априорных результатов при познании природы, они нуждаются в сопоставлении с экспериментом и в соответствии с ним обретают физическую содержательность. Априорной очевидности не существует. Но и эмпирическая очевидность иллюзия. Геометрические понятия получают все новое и новое физическое содержание и при этом сами меняются. Все это характеризует путь, которым шел

71

Эйнштейн при создании и развитии теории относительности. Но вместе с тем сказанное характеризует эффект математической и физической подготовки Эйнштейна в юности. Все стало на свое место позже, после построения теории относительности, но строительные материалы заготовлялись раньше.

Чтобы охарактеризовать эти материалы, нужно указать, в каком виде они вошли в постройку, какие математические сведения оказались необходимыми Эйнштейну впоследствии. Повторим несколько систематичнее пояснения математических понятий, уже мелькавших раньше.

Вся совокупность теорем наиболее простой и элементарной геометрии, которую изучают в средней школе, основана па неизменной длине отрезка, переносимого с места на место и измеряемого в различных положениях. На этом следует остановиться, так как понятие неизменной длины отрезка подводит к понятиям, которые впоследствии понадобятся для изложения основ теории относительности.

Длина отрезка прямой - это расстояние между его концами. Мы определяем положение каждой точки через расстояния между нею и другими точками, а расстояния - через положения точек. Положение точки - относительное понятие, оно может быть определенным, если указано, по отношению к каким другим точкам, линиям и поверхностям оно определено. Даже такие, не связанные с количественным измерением определения положения, как "сверху", "снизу", "справа", "впереди", тоже требуют указания на другие точки, линии и поверхности, по отношению к которым данная точка находится "снизу", "впереди" и т.д. Декарт нашел способ, с помощью которого можно количественно определить положение точки в пространстве. Если это пространство - плоскость, то нужно провести через некоторую точку на плоскости - начало отсчета - две взаимно перпендикулярные прямые, затем опустить на эти прямые (они называются осями координат) перпендикуляры из данной точки. Длины этих перпендикуляров - координаты данной точки определяют ее положение на плоскости. Пространство, в котором положение точки определяется двумя координатами, называется двумерным. Оно не обязательно должно быть плоским и может быть кривой поверхностью, например поверхностью сферы. Такова поверхность Земли, положение на этой поверхности определяется расстоянием от полюса (или от экватора) и от меридиана, принятого за начальный. Здесь в такой координатной системе (системе отсчета) осями служат уже не прямые, а кривые линии.

Чтобы определить положение точки с помощью декартовых координат в трехмерном пространстве, понадобится система, состоящая из трех взаимно перпендикулярных плоскостей. Положение точки определяется тремя координатами - длинами опущенных на эти плоскости перпендикуляров.

Мы можем заменить данную декартову систему координат иной декартовой системой, выбрав новое начало координат или проведя в ином направлении взаимно перпендикулярные оси. Такая замена называется преобразованием координат. Она меняет значения координат, но не меняет длины отрезка. Если нам известны координаты одного конца отрезка и координаты другого конца отрезка, мы можем вычислить его длину. Перейдя к иной системе отсчета, получив новые значения координат концов отрезка и вычислив вновь его длину, мы получим ту же самую величину, что и при измерении положения концов отрезка в старой координатной системе. Длина отрезка принадлежит к числу величин, которые не меняются при преобразовании координат и называются инвариантами таких преобразований.

Когда знакомишься с этими геометрическими понятиями, воображение рисует их физические прообразы. Отрезок представляется нам, например, штангой - двумя металлическими шарами, которые сохраняют между собой одно и то же расстояние - они образуют жесткую механическую систему. Координатные оси на плоскости представляются двумя перпендикулярными прямыми, начерченными на столе, на полу или на земле. Под понятие трехмерной системы отсчета мы подставляем конкретный образ трех бесконечно простирающихся плоскостей - что-то вроде бесконечного пола и двух бесконечных перпендикулярных стенок, прикрепленных к кораблю, на котором мы путешествуем, или к Земле, Солнцу, Сириусу и т.д. Нам кажется, что длина штанги (или размеры и форма другой, более сложной материальной системы) не меняется при измерении координат ее точек в системе корабля, в системе Земли и т.д., т.е. что мы можем взять любую начальную точку отсчета, чтобы описать геометри

73

ческие свойства реальных тел. Такую равноправность всех точек при выборе начала координат мы называем однородностью окружающего нас пространства. Мы можем теперь сказать, что Коперник, лишивший систему координат, связанную с Землей, ее привилегированного характера, показал однородность мирового пространства. Но при этом мы уже, по существу, утверждаем, что при переходе к иной системе координат (Коперник прикрепил ее к Солнцу) не меняются не только форма и размеры тел, но и их поведение.