,     (5)

где С — постоянное комплексное число. Эта волновая функция обладает замечательным свойством: квадрат её модуля |y₁|² не зависит от х, т. е. вероятность нахождения частицы, описываемой такой волновой функцией, в любой точке пространства одинакова. Другими словами, частица со строго определённым импульсом совершенно нелокализована. Конечно, это идеализация — полностью нелокализованных частиц не существует. Но в той же мере идеализацией является и волна со строго определённой длиной волны, а следовательно, и строгая определённость импульса частицы. Поэтому точнее сказать иначе: чем более определённым является импульс частицы, тем менее определенно её положение (координата). В этом заключается специфический для К. м. принцип неопределённости. Чтобы получить количественное выражение этого принципа — соотношение неопределённостей, рассмотрим состояние, представляющее собой суперпозицию некоторого (точнее, бесконечно большого) числа де-бройлевских волн с близкими волновыми числами, заключёнными в малом интервале Dk. Получающаяся в результате суперпозиции волновая функция y(х) (она называется волновым пакетом) имеет такой характер: вблизи некоторого фиксированного значения x все амплитуды сложатся, а вдали от x (|х — x| >> l) будут гасить друг друга из-за большого разнобоя в фазах. Оказывается, что практически такая волновая функция сосредоточена в области шириной Dх, обратно пропорциональной интервалу Dk, т. е. Dх  » 1/Dk, или

 (где  — неопределённость импульса частицы). Это соотношение и представляет собой соотношение неопределённостей Гейзенберга.

  Математически любую функцию y(х) можно представить как наложение простых периодических волн — это известное Фурье преобразование, на основании свойств которого соотношение неопределённостей между Dх и Dk получается математически строго. Точное соотношение имеет вид неравенства DхDk ³ ¹/₂, или

,     (6)

причём под неопределённостями Dр и Dх понимаются дисперсии, т. е. среднеквадратичные отклонения импульса и координаты от их средних значений. Физическая интерпретация соотношения (6) заключается в том, что (в противоположность классической механике) не существует такого состояния, в котором координата и импульс частицы имеют одновременно точные значения. Масштаб неопределённостей этих величин задаётся постоянной Планка

, в этом заключён важный смысл этой мировой постоянной. Если неопределённости, связанные соотношением Гейзенберга, можно считать в данной задаче малыми и пренебречь ими, то движение частицы будет описываться законами классической механики (как движение по определённой траектории).

  Принцип неопределённости является фундаментальным принципом К. м., устанавливающим физическое содержание и структуру её математического аппарата. Кроме этого, он играет большую эвристическую роль, т.к. многие результаты К. м. могут быть получены и поняты на основе комбинации законов классической механики с соотношением неопределённостей. Важным примером является проблема устойчивости атома, о которой говорилось выше. Рассмотрим эту задачу для атома водорода. Пусть электрон движется вокруг ядра (протона) по круговой орбите радиуса r со скоростью u. По закону Кулона сила притяжения электрона к ядру равна e²/r², где е — абсолютная величина заряда электрона, а центростремительное ускорение равно u²/r. По второму закону Ньютона mu²r = e²/r², где m — масса электрона. Отсюда следует, что радиус орбиты r = е²/mu² может быть сколь угодно малым, если скорость u достаточно велика. Но в К. м. должно выполняться соотношение неопределённостей. Если допустить неопределённость положения электрона в пределах радиуса его орбиты r, а неопределённость скорости — в пределах u, т. е. импульса в пределах Dр = mu, то соотношение неопределённостей примет вид:

. Воспользовавшись связью между u и r, определяемой законом Ньютона, получим  и . Следовательно, движение электрона по орбите с радиусом, меньшим  см, невозможно, электрон не может упасть на ядро — атом устойчив. Величина r и является радиусом атома водорода («боровским радиусом»). Ему соответствует максимально возможная энергия связи атома E (равная полной энергии электрона в атоме, т. е. сумме кинетической энергии mu²/2 и потенциальной энергии — e²/r, что составляет E » -13,6 эв), определяющая его минимальную энергию — энергию основного состояния.

  Т о., квантовомеханические представления впервые дали возможность теоретически оценить размеры атома (выразив его радиус через мировые постоянные

, m, е). «Малость» атомных размеров оказалась связанной с тем, что «мала» постоянная .

  Примечательно, что современные представления об атомах, обладающих вполне определёнными устойчивыми состояниями, оказываются ближе к представлениям древних атомистов, чем основанная на законах классической механики планетарная модель атома, позволяющая электрону находиться на любых расстояниях от ядра.

  Строгое решение задачи о движении электрона в атоме водорода получается из квантовомеханического уравнения движения — уравнения Шрёдингера (см. ниже); решение уравнения Шрёдингера даёт волновую функцию y, которая описывает состояние электрона, находящегося в области притяжения ядра. Но и не зная явного вида y, можно утверждать, что эта волновая функция представляет собой такую суперпозицию волн де Бройля, которая соответствует локализации электрона в области с размером ³ r и разбросу по импульсам

.

  Соотношение неопределённостей позволяет также понять устойчивость молекул и оценить их размеры и минимальную энергию, объясняет существование вещества, которое ни при каких температурах не превращается при нормальном давлении в твёрдое состояние (гелий), даёт качественное представления о структуре и размерах ядра и т.д.

  Существование уровней энергии — характерное квантовое явление, присущее всем физическим системам, не вытекает непосредственно из соотношения неопределённостей. Ниже будет показано, что дискретность уровней энергии связанной системы можно объяснить на основе уравнения Шрёдингера; отметим лишь, что возможные дискретные значения энергии (энергетические уровни) E_n > E соответствуют возбуждённым состояниям квантовомеханической системы (см., например, Атом).

  Стационарное уравнение Шрёдингера. Волны де Бройля описывают состояние частицы только в случае свободного движения. Если на частицу действует поле сил с потенциальной энергией V (называемой также потенциалом), зависящей от координат частицы, то волновая функция частицы y определяется дифференциальным уравнением, которое получается путём следующего обобщения гипотезы де Бройля. Для случая, когда движение частицы с заданной энергией E происходит в одном измерении (вдоль оси х), уравнение,. которому удовлетворяет волна де Бройля (5), может быть записано в виде: