Европейские державы не были заинтересованы в использовании математики для изучения эзотерических и абстрактных понятий; математика была им необходима для решения практических проблем, и правительства состязались в привлечении к себе на службу лучших умов. Эйлер начал свою математическую карьеру в России, затем его пригласил в Берлинскую академию король Пруссии Фридрих Великий. В царствование Екатерины Великой Эйлер вернулся в Россию, где он и провел последние годы жизни. За годы своей деятельности Эйлер решил множество задач из самых различных областей — от навигации до финансов, от акустики до ирригации. Практический мир решения насущных проблем не притупил математические способности Эйлера. Наоборот, для решения каждой новой проблемы Эйлер изобретал новый остроумный математический подход. Столь «односторонняя» направленность его ума приводила к тому, что в иной день Эйлеру случалось писать по несколько работ. Рассказывают, что между первым и вторым приглашением к обеденному столу Эйлер как-то раз попытался выполнить вычисления, заслуживающие публикации. Эйлер не терял ни минуты. Укачивая одной рукой младенца в колыбели, он другой рукой набрасывал доказательство теоремы.

Одним из величайших достижений Эйлера стала разработка алгоритмического мышления. Отличительная особенность эйлеровских алгоритмов состояла в том, что они предназначались для решения проблем, казавшихся неразрешимыми. Одной из таких проблем было высокоточное предсказание фаз Луны — информация о фазах Луны имела жизненно важное значение для составления таблиц, необходимых для мореплавания. Еще Ньютон показал, что можно сравнительно легко предсказывать орбиту одного тела, обращающегося вокруг другого, но в случае Луны ситуация не столь проста.

Луна обращается вокруг Земли, но третье тело — Солнце — существенно усложняет картину. Земля и Луна притягивают друг друга, а Солнце возмущает положение Земли и сталкивает Луну с ее идеальной орбиты вокруг Земли. Уравнения позволяли описать поведение Земли и Луны, но математики XVIII века не умели учитывать в своих вычислениях влияние третьего тела. Даже сегодня невозможно предсказать, как будет вести себя точное решение этой задачи (класс таких задач называется «задачей трех тел»). Эйлер понял, что мореплавателям нет необходимости знать фазу Луны с абсолютной точностью — вполне достаточно такой точности, которая позволяет определить положение судна с точностью до нескольких морских миль. И он разработал рецепт, позволяющий получать не идеальное, а достаточно точное решение. Такой рецепт, называемый алгоритмом, позволяет получить сначала весьма приближенное, грубое решение. Затем это решение можно ввести в качестве исходных данных в тот же алгоритм и получить уже более точное решение. В свою очередь, уточненное решение, если его также ввести в алгоритм, порождает еще более точное решение, и т. д. После ста или около того итераций Эйлер получил возможность определить положение Луны с точностью, достаточной для нужд мореплавания. Свой алгоритм Эйлер представил британскому Адмиралтейству и получил награду в триста фунтов стерлингов.

Эйлер заслужил репутацию человека, способного решить любую поставленную ему задачу, причем не только математическую. В бытность свою при дворе Екатерины Великой он встретил великого французского философа Дени Дидро. Тот был убежденным атеистом и пытался обратить в атеизм представителей русской знати. Разгневанная этим Екатерина обратилась к Эйлеру с просьбой пресечь деятельность французского безбожника.

Эйлер поразмыслил над просьбой императрицы и объявил, что располагает алгебраическим доказательством существования Бога. Екатерина Великая пригласила Эйлера и Дидро во дворец и собрала на теологический спор всех придворных. Эйлер встал перед аудиторией и заявил:

Дидро не был силен в алгебре и не мог ничего возразить величайшему математику Европы. Ему оставалось только безмолвствовать. Потерпев унизительное поражение, он покинул Санкт-Петербург и вернулся в Париж. Эйлер же на какое-то время вернулся к занятиям теологией и опубликовал еще несколько шутливых доказательств относительно природы Господа Бога и человеческого духа.

Более «земная» задача, привлекшая внимание Эйлера, большого любителя головоломных проблем, связана с прусским городом Кёнигсбергом (ныне — российский город Калининград). Город стоит на берегах реки Прегили и состоит из четырех частей, соединенных между собой семью мостами. План города схематически изображен на рис. 7. Некоторые из любопытных жителей Кенигсберга заинтересовались, можно ли обойти все семь мостов, не переходя ни по одному из них дважды. Кое-кто из обитателей Кенигсберга попытался проложить различные маршруты, но ничего хорошего из этого не вышло. Эйлеру также не удалось обойти все семь кёнигсбергских мостов, побывав на каждом только один раз, но зато он сумел объяснить, почему сделать это невозможно.

Рис. 7. Река Прегиль делит Кёнигсберг на четыре несвязанные части A, B, C и D. Различные части города соединены между собой семью мостами. Можно ли обойти все семь мостов побывав на каждом один и только один раз?

 Рис. 8. Упрощенная схема семи кёнигсбергских мостов

Эйлер взял план города и заменил его упрощенной схемой, на которой части города изображены точками (узлами), а мосты — линиями (ребрами), как на рис. 8. Затем Эйлер стал рассуждать так. Чтобы существовал маршрут, позволяющий обойти ровно по одному разу все мосты, каждая точка на схеме должна принадлежать четному числу линий. Это связано с тем, что в середине обхода путешественник, проходя какую-то из частей города, должен войти в нее по одному мосту, а выйти — по другому. Из этого правила существуют лишь два исключения: когда путешественник начинает или завершает обход. В самом начале обхода путешественник покидает некую часть города, и для выхода из нее необходим только один-единственный мост. Если обход начинается и заканчивается в различных частях города, то число мостов, ведущих к каждой из них нечетно. Но если обход начинается и заканчивается в одной и той же части города, то соответствующая ей точка на схеме, как и все другие точки, должна принадлежать четному числу линий (т. е. эта часть города должна быть соединена с другими частями четным числом мостов).

Таким образом, заключил Эйлер, какой бы ни была сеть мостов, обойти все мосты, побывав на каждом по одному и только одному разу, можно только в том случае, если все части города соединены с другими четным числом мостов или если ровно две части города соединены с другими частями нечетным числом мостов. В Кенигсберге город подразделяется всего на четыре части, — и все они соединены с другими частями нечетным числом мостов. На схеме Кенигсберга три точки принадлежат трем линиям, а одна — пяти линиям. Тем самым Эйлер не только сумел объяснить, почему все семь кёнигсбергских мостов невозможно обойти, побывав на каждом один и только один раз, но и придумал правило, применимое к любой сети мостов в любом городе мира. Рассуждения Эйлера отличаются замечательной красотой. По-видимому, такого сорта логические задачи Эйлер и любил решать за обедом.

Задача о семи кёнигсбергских мостах принадлежит к числу так называемых задачах о графах в прикладной математике. Именно она побудила Эйлера к рассмотрению более абстрактных графов. В ходе своих исследований Эйлер открыл фундаментальную истину, относящуюся ко всем графам, — так называемую формулу Эйлера для графов, которую ему удалось доказать за несколько логических шагов. Формула Эйлера для графов выражает незыблемое соотношение между тремя элементами любой графа: